重庆大学2012秋矩阵论考题及答案(3)

时间:2025-07-10

重庆大学研究生矩阵论考题

R的特征值为 1 2 0, 3 2,对应的线性无关的特征向量为(1,1,0)T(0,1,1)T,(0,1,-1)T,令

100 0 1

CRC . (2分) C 111,,则有 0

12 01

et

故x(t) eAtx(0) et . (2分)

3et

1111 1

七、(10分)假定A 1234 ,b 2

0123 1 11 由(B1,B2,B3)=(A1,A2,A3)C求得V的另一组基为B1 A1 A2 0 1

(1) 求矩阵A的满秩分解;

B2 A2 A3 01 ,B3 A2 A3 01 , 在该基下的矩阵为 . (2分)

10 10 (2) 求A ;

dx1(t)

dt 2x1 2x2 x3

1

dx(t) 下的解. 1六、(10分)求微分方程组 2 x1 x2 x3,在x 0 dt 3 dx3(t)

dt x1 2x2 2x3

(3) 判断方程组Ax b是否相容?若相容,求其最小范数解;若不相容,求其极小最小二乘解。

1111 10 1 2

解:(1)A 1234 ~ 0123 ,(1分)

0123 0000

11

10 1 2 BCA 12 0123 01 . (2分)

2 2 1110

解:A E 1 1 1 (1 ) 1 1 1 ( 1)3 . (3

1 22 1 22 A是特征值为 1(3重). (1分)

又因为A E 0, A E 0,所以A的最小多项式为( 1)2.(1分) 设eAt aE bA

et tet2tet tet

e a b a e te

。故eAt tetet 2tettet . (3分) tet b b tet

tet 2tetet tet

t

t

t2

17

91 (2)A

30 1 74 13

3 6

(4分)

21

18

(3)∵ rankA 2;rank(A:b) 2;∴ AX b相容. (2分)

4 3 1 X Ab . (1分) 10 2 1

最小范数解

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