重庆大学2012秋矩阵论考题及答案(3)

重庆大学研究生矩阵论考题

R的特征值为 1 2 0, 3 2，对应的线性无关的特征向量为（1，1，0）T（0，1，1）T，（0，1，-1）T，令

100 0 1

CRC . （2分） C 111，，则有 0

12 01

et

故x(t) eAtx(0) et . （2分）

3et

1111 1

七、（10分）假定A 1234 ,b 2

0123 1 11 由（B1，B2，B3）=（A1，A2，A3）C求得V的另一组基为B1 A1 A2 0 1

(1) 求矩阵A的满秩分解；

B2 A2 A3 01 ，B3 A2 A3 01 ， 在该基下的矩阵为 . （2分）

10 10 (2) 求A ；

dx1(t)

dt 2x1 2x2 x3

1

dx(t) 下的解. 1六、(10分)求微分方程组 2 x1 x2 x3，在x 0 dt 3 dx3(t)

dt x1 2x2 2x3

(3) 判断方程组Ax b是否相容？若相容，求其最小范数解；若不相容，求其极小最小二乘解。

1111 10 1 2

解：（1）A 1234 ~ 0123 ，（1分）

0123 0000

11

10 1 2 BCA 12 0123 01 . （2分）

2 2 1110

解：A E 1 1 1 (1 ) 1 1 1 ( 1)3 . （3

1 22 1 22 A是特征值为 1（3重）. （1分）

又因为A E 0, A E 0，所以A的最小多项式为( 1)2.（1分） 设eAt aE bA

et tet2tet tet

e a b a e te

。故eAt tetet 2tettet . （3分） tet b b tet

tet 2tetet tet

t

t

t2

17

91 （2）A

30 1 74 13

3 6

（4分）

21

18

（3）∵ rankA 2；rank(A:b) 2；∴ AX b相容. （2分）

4 3 1 X Ab . （1分） 10 2 1

最小范数解