重庆大学2012秋矩阵论考题及答案(3)
时间:2025-07-10
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重庆大学研究生矩阵论考题
R的特征值为 1 2 0, 3 2,对应的线性无关的特征向量为(1,1,0)T(0,1,1)T,(0,1,-1)T,令
100 0 1
CRC . (2分) C 111,,则有 0
12 01
et
故x(t) eAtx(0) et . (2分)
3et
1111 1
七、(10分)假定A 1234 ,b 2
0123 1 11 由(B1,B2,B3)=(A1,A2,A3)C求得V的另一组基为B1 A1 A2 0 1
(1) 求矩阵A的满秩分解;
B2 A2 A3 01 ,B3 A2 A3 01 , 在该基下的矩阵为 . (2分)
10 10 (2) 求A ;
dx1(t)
dt 2x1 2x2 x3
1
dx(t) 下的解. 1六、(10分)求微分方程组 2 x1 x2 x3,在x 0 dt 3 dx3(t)
dt x1 2x2 2x3
(3) 判断方程组Ax b是否相容?若相容,求其最小范数解;若不相容,求其极小最小二乘解。
1111 10 1 2
解:(1)A 1234 ~ 0123 ,(1分)
0123 0000
11
10 1 2 BCA 12 0123 01 . (2分)
2 2 1110
解:A E 1 1 1 (1 ) 1 1 1 ( 1)3 . (3
1 22 1 22 A是特征值为 1(3重). (1分)
又因为A E 0, A E 0,所以A的最小多项式为( 1)2.(1分) 设eAt aE bA
et tet2tet tet
e a b a e te
。故eAt tetet 2tettet . (3分) tet b b tet
tet 2tetet tet
t
t
t2
17
91 (2)A
30 1 74 13
3 6
(4分)
21
18
(3)∵ rankA 2;rank(A:b) 2;∴ AX b相容. (2分)
4 3 1 X Ab . (1分) 10 2 1
最小范数解