重庆大学2012秋矩阵论考题及答案(2)
时间:2025-07-10
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重庆大学研究生矩阵论考题
i 1
n
ai 11
五、(10分)已知B ,在线性空间V A (aij)2 2a11 a22 0,aij R 01
中定义变换 2
解:柯西-斯瓦兹不等式: ( , ) ( , )( , ),当且仅当 与 线性相关时等式成立.
(5分,不等式4分,等式成立条件1分)
T
取 (a1,a2, ,an), (1,1, ,1) (3分)
T
(A) BTA ATB,其中A V。
(1) 证明变换 是线性变换。
2T2
又( , ) ( ) a1 a2 an
2
(2) 求V的一组基,使线性变换 在该基下的矩阵为对角阵。
22
( , ) T a12 a2 an
证明:(1)对任意的 , V及k,l R,有
( , ) T n
n
k l BT k l k l B
k BT TB l BT TB
T
故
a
i 1
i
(2分)
=k ( )+l (β)
122
四、(10分)已知A 212 ,求Am1,AF,Am ,A1,A , (A)。
221
故 是线性变换.(4分)
(2)取V的简单基
10
A1 ,
0 1
01
A2 ,
00
00 A3
10
解:(1
)A扣2分)
又因为
15,Am1
F
A
m
6,A1 5,A 5;(8分,错一个
由于 A1 0 1 ,
10
01 , (A) 0 1 , (A2) 3
10 10
I A ( 5)( 1)2, 1 5, 2 3 1
故
.
所以 在基A1,A2,A3下的矩阵为
00 0
R 11 1
1 11 (2分)
(A) lim i 5
i
. (2分)