重庆大学2012秋矩阵论考题及答案(2)

重庆大学研究生矩阵论考题

i 1

n

ai 11

五、（10分）已知B ，在线性空间V A (aij)2 2a11 a22 0,aij R 01

中定义变换 2

解：柯西-斯瓦兹不等式: ( , ) ( , )( , ),当且仅当 与 线性相关时等式成立.

（5分，不等式4分，等式成立条件1分）

T

取 (a1,a2, ,an)， (1,1, ,1) （3分）

T

(A) BTA ATB，其中A V。

（1） 证明变换 是线性变换。

2T2

又( , ) ( ) a1 a2 an

2

（2） 求V的一组基，使线性变换 在该基下的矩阵为对角阵。

22

( , ) T a12 a2 an

证明：（1）对任意的 , V及k,l R，有

( , ) T n

n

k l BT k l k l B

k BT TB l BT TB

T

故

a

i 1

i

（2分）

=k ( )+l (β)

122

四、(10分)已知A 212 ，求Am1,AF,Am ,A1,A , (A)。

221

故 是线性变换.（4分）

（2）取V的简单基

10

A1 ,

0 1

01

A2 ,

00

00 A3

10

解：（1

）A扣2分）

又因为

15,Am1

F

A

m

6,A1 5,A 5；（8分，错一个

由于 A1 0 1 ,

10

01 , (A) 0 1 , (A2) 3

10 10

I A ( 5)( 1)2, 1 5, 2 3 1

故

.

所以 在基A1,A2,A3下的矩阵为

00 0

R 11 1

1 11 （2分）

(A) lim i 5

i

. （2分）