求逆矩阵方法的进一步研究(4)

矩阵,其中A11,A12分别是r阶、s阶可逆方阵,则当

-1D=A22-A21A11A12可逆时,A可逆,且

E2

所以 A-1

=

0E2-1

2B-1B2

B-2

-B2

1

B-1

2--1B2,22

2-2

A=

A11A21

A

12AA11A21A110A12D0

初等变换

E=

Er0

0E1

证明:A=

A12A[2+1(-A-121A11)]

-1 2B-B-1

2 --1

A12

A22--1

A21A11A=

A110A11

[1+2(-A12D-1)]

其中B-1=4 小结

11

=.

1

[2(D-1)][1(A-11)]

Er0

0E0由此可知,存在分块初等矩阵,P1,P2, ,Pt使得

Pt P2P1A=E

上式右乘A-1得 ,Pt P2P1E=A-1

比较二式可知,如果用一系列分块初等变换把A化为分块单位矩阵,那么同样的分块初等变换就能把单位矩阵化为A-1于是有

(A E)

A

-1

综上所述,再结合书上强调的方法可知,求逆矩阵的方法可归纳如下:

伴随矩阵法,即A-1=

*

A;|A|

初等变换

初等变换法,即(A E)E A-1);

解线性方程组法,即解方程组AX= i,其中 i是第i个分量是1,其余分量为0的单位向量(i=1,2, ,n);

由AB=E,则A-1=B;

分块对角矩阵求逆

分块上(下)三角形矩阵求逆.

分块初等变换求逆

参考文献

[1] 丘维声编著.高等代数[M].北京:高等教育出版社,2001.[2] 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组编.高等代数

分块初等变换

E A-1)

例6 就例5中的矩阵A,利用分块初等变换求.

解:由于A=(A E)=

BBB0B0

0-2B

B

B- BE20

0 B-2B2E2-E2

E2-E2

2E2E

2

,其中B=

1

1-[2+

1(-1)]

12

-BE0E2--1B2

[1(B-1)]

1+2

[M].北京:高等教育出版社,2001.

[3] 梁保松,党耀国主编.应用数学[M].北京:气象出版社,1999.

FurtherStudyabouttheMethodsforSeekingInverseMatrix

WANGLian-hua,ZHANGXiang-wei,LIZhan-guo,WANGJian-ping

(a.BsicScienceCollege,HenanAgriculturalUniversity,Zhengzhou450002,China;

b.TheSecondnormalschool,Xingyang450100,China)a

b

a

a

Abstract:Themethodsonseekinginversematrixaregiveninthispaper,basingoninversematrix,linearequationsandresolvematrix.Thesemethodsare,makinguseoflinearequations;usingAB=Eandresolvematrix.Keywords:inversematrix;linearequations;resolvematrix