求逆矩阵方法的进一步研究

第11卷第3期2002年9月

河南教育学院学报(自然科学版)

JournalofHenanEducationInstitute(NaturalScience)

Vol.11No.3Sep.2002

文章编号:1007-0834(2002)03-0009-04

求逆矩阵方法的进一步研究

王莲花1,张香伟2,李战国1,王建平1

(1 河南农业大学基础科学学院,河南郑州450002;2 郑州第二师范,河南荥阳450100)

摘要:在逆矩阵、线性方程组及分块矩阵有关知识的基础上,文中给出求逆矩阵的另外一些方法,即(1)利用线性方程组求逆矩阵;(2)由AB=E,则A-1=B;(3)分块求逆法.

关键词:逆矩阵;线性方程组;分块矩阵中图分类号:O151 21 文献标识码:A

矩阵是数学中一个极其重要的应用广泛的概念,它是代数,特别是线性代数的一个主要研究对象.其中逆矩阵又是矩阵理论中一个非常重要的概念,逆矩阵的求法自然也就成为我们要研究的主要内容之一.可是在研究逆矩阵的求法时,大家往往只注意到课本中强调的方法,即伴随矩阵的方法及初等变换的方法,而忽略了对其他方法的进一步探讨和应用.本文试图在逆矩阵、线性方程组及分块矩阵等有关知识的基础上,进一步给出求逆矩阵的另外一些方法.

1 利用线性方程组来求逆矩阵

若n阶矩阵A可逆,则AA

-1

分析:由于A的阶数较高,用初等变换的方法写起来篇幅较大,而考虑到A是上阶梯形矩阵,采用解线性方程组的方法求逆较易.

解:设X=(x1,x2,x3,x4,x5)T,B=(b1,b2,b3,b4,b5)T

解方程组 AX=B

2x1+x2=b12x2+x3=b2

即

2x3+x4=b32x4+x5=b42x5=b5

很容易解出x1,x2,x3,x4,x5与b1,b2,b3,b4,b5的关系如下:

x1=2-5(24b1-23b2+22b3-2b4+b5)x2=2-4(23b2-22b3+2b4-b5)x3=2-3(22b3-2b4+b5)x4=2(2b4-b5)x5=2-1b5

然后把B=(b1,b2,b3,b4,b5)分别用 1=(1,0,0,0,0), 2=(0,1,0,0,0), 3=(0,0,1,0,0), 4=

-(0,0,0,1,0), 5=(0,0,0,0,1)代入,得到矩阵A

1

-2

=E,于是A

-1

的

第i列是线性方程组AX= i的解,i=1,2, ,n, i是第i个分量是1的单位向量.因此,我们可以去解线性方程组AX=B,其中B=(b1,b2, ,bn)T,然后把所得的解的公式中的b1,b2, ,bn分别用 1=(1,0,0, ,0), 2=(0,1,0, ,0), , n=(0,0,0, ,1)代替,便可以求得A-1的第1,2, ,n列,这种方法在某些时候可能比用初等变换法求逆矩阵稍微简单一点.下面事例说明该方法的应用.

2102

例1 求矩阵A=00

00

00

收稿日期:2002-03-19

000100

210的逆矩阵.02100的第1,2,3,4,5列分别用x1=(2-1,0,0,0,0)T,x2=(-2

-2

,2

-1

,0,0,0),x3=(2,-2,2,0,

T-3-2-1

作者简介:王莲花(1964 ),女,河南宁陵人,河南农业大学基础科学学院副教授.