求逆矩阵方法的进一步研究(2)

0),x4=(-2

T-4

,2

-3

,-2

21

-2

,2,0),x5=(2

321

-1T-5

,

(E-A)-1=E+A+A2+A3=类似可求得:

-2-4,2-3,-2-2,2-1)T

2-10

于是A

-1

11010000

111110-2- 2-00

2--2- 2-0

-2- 2--2- 2

432

2--2- 2--2

43

=00

-1-2-1

1-1

(E+A)-1=E-A+A2-A3=3 分块求逆法

000

1 0 0

1--1 0

1 1-1

0000 2

由此可知,这种求逆矩阵的方法特别适用于线性方程组AX=B比较容易求解的情形.2 利用定理求逆矩阵

命题1 设A、B都是n阶矩阵,若AB=E,则A与B都可逆,并且A

-1

当一个可逆矩阵的阶数较大时,即使用初等变

=B、B

-1

换求它的逆矩阵计算量仍然较大,如果把该矩阵分块,再对分块矩阵求逆矩阵,则有可能减少计算量.3 1 分块对角矩阵求逆

如果把一个矩阵适当分块能得到一个分块对角矩阵,那么很容易判断它是否可逆,并且当可逆时较容易求它的逆矩阵.

命题2 分块对角矩阵A=diag(A1,A2, ,As)可逆的充分必要条件是它的主对角线上的每个小矩阵Ai(i=1,2, ,s)可逆,并且A可逆时,A-1=diag

1-1-1

(A-1,A2, ,As).

=A.

证明:因为AB=E,所以|A||B|=1,从而|A| 0,|B| 0,因此A与B都可逆,在AB=E两边左乘AB

-1

-1

得A

-1

(AB)=A

-1

E,由此得B=A

-1

,于是

=(A

-1-1

)=A.下面以举例说明这种方法的应

用.

例2 证明:如果Ak=0,那么(E-A)-1=E+A+A+ +A

2

k-1

.

证明:因此E与A可以交换,所以(E-A)(E+A+A2+ +Ak-1)=E-AK,因AK=0,于是得(E-A)(E+A+A+ +A且(E-A) (k 2)

由此可知,只要满足A=0,就可以利用此题求出一类矩阵E A得逆矩阵.

例3 设A=

000

得逆矩阵.

分析:由于A中有许多元素为零,考虑A是否为零矩阵,若为零矩阵,则可以采用例2的方法求E A的逆矩阵.

00

解 容易验证A2=

0000000000

101000000

,

K

k

-1

2

k-1

证明:因为|A|=|A1||A2| |As|,所以A可逆 每个Ai(i=1,2, ,s)可逆,因为A可逆时,有

Adiag(A1,A2, ,As)=diag(A1A1,

1-1

A2A-2, ,AsAs)=E

1-1-1

所以 A-1=diag(A-1,A2, ,As).

-1

-1

-1

-1

)=E,故E-A可逆,

k-1

=E+A+A+ +A

2

,同理可以证

明(E+A)-1=E-A+A2-A3+ +(-1)k-1Ak-1

该命题表明,可逆分块对角矩阵的逆矩阵仍是分块对角矩阵.

3 2 分块上三角形矩阵求逆

,其中A11,A22分别

0A是r阶、s阶方阵,则A可逆的充分必要条件为A11

命题3 设A=与A22都可逆,且A

-1

10010

,求E-A和E+A

00100A11A12

1

0A-22

证明:因为|A|=|A11||A12|,所以|A| 0

=

A11

-1

-A11A12A22

-1-1

|A11| 0且|A22| 0,于是A可逆 A11与A22都可逆.下面求A-1,为此先把A化为分块对角矩阵,即

-1

把A的第2行的-A12A22倍加到第1行上,则右上

角变为0块,这相当于在A的左边乘上一个相应的

4

,A=0

0000000而 (E-A)(E+A+A2+A3)=E,所以A=

3

分块初等矩阵.因此有=

A110

0AEr0

-A12A22

Es

-A110

A12A