求逆矩阵方法的进一步研究(3)

于是Er0

A110

A12AEs

-

1

==

A110A110

-1

0A-1

=

-1

-A110

A12

1

A22-A21A-11A-1

-A12A-22

-A11A12A22

1A-22

于是可以看出,当D=A22-A21A11A12可逆时,A可逆,且

A11A12

A21=

A1A-11

-1

由此可知:可逆的分块上三角形矩阵的逆矩阵仍然是分块上三角形矩阵.类似方法可以推出A11A21

0A-1

1A-11

-1-1-A22A21A11

=

A110

A12D

-1

Er

1

-A21A-11

E0

=

1A-22

1--A-11A12D

Er

1

例4 求A=阵.

-1

0 0

8 5 -6-1-3

的逆矩

0 2 1

3

=

.-1-1-1

-DA21A11D

如此复杂的矩阵,当然不能作为公式记住,在做题时可采用类似的方法来求A-1,看下面例子.

1

例5 求矩阵A=

111

1-1 1-1

1 1-1-1

-1-1 的逆矩

1-1

-A21A-Es11D

1-1-11-1A-A21A--A11A12D-11+A11A12D11

解:显然A可以分块为上三角形矩阵A=

A110

A12A

1-1

- 5-1

-阵.

其中A11==

23-1A11=

,A12=,A22

分析:此题元素虽然都是1或-1,但是直接利用初等变换法求逆,过程却很复杂.观察矩阵特点,按如下分块,利用分块求逆法较简单.

解:把A分块得分块矩阵

把分块矩阵

B-1-A

的第1行的(-1)倍加到第2行,这相当于在A的左侧乘上一个相应的分块初等矩阵,即

E2

0E

-

BB

-1

2--6--1

且 ,A22=

2 1 -3

-3- 5

-1-1

又 -A11A12A22=--1

22 2

-3

-= -5 2

-1

-A=

B 其中B=

1 -A

-111

B-B0

由命题3知,A

-3=

2 0

=

-A

-1-11A12A22

-1

-E2

A

-1

= B

B0

-1

B-2 E2-E20

,于是得0E-4 2 0

0-5 2 2

A22

-2-1 .

=

BBB-1

=-1B2

-2

E2

=

0 0-3

3 3 一般分块矩阵求逆

设A=

A11

A12

A21A阶方阵.现在讨论A何时可逆?

,其中A11,A22分别是r阶、s

=

-B-1-E2

2

B-1 B-1220-B2

1

E-

-B2

1

当A可逆时,求A-1.如果能把A变成分块上三角形矩阵,由命题2,则问题易于解决.为此把A的第

1行的-A21A11倍加到第2行上,这相当于在A的左边乘上一个相应的分块初等矩阵,即

Er--1

A21A11

-1

-1

其中 B-1=-2-13 4 分块初等变换求逆

-1

= 222.-2

与初等变换求逆矩阵方法类似,下面给出可逆的分块矩阵逆矩阵的初等变换求法.

命题4 设A=

A11A21

A12A是一个可逆的分块

0E

A11A21

A12A