北京交通大学附中2014届高考数学一轮复习 推理与(5)

a cb d

1， 22

这与已知ac bd 1相矛盾，所以原假设不成立，即证得a，b，c，d中至少有一个是负数．

所以ac bd≤

22．用电阻值分别为a1、a2、a3、a4、a5 、a6 (a1>a2>a3>a4>a5>a6) 的电阻组装成一个如图的组件，在组装中应如何选取电阻，才能使该组件总电阻值最小？证明你的结论．

【答案】设6个电阻的组件（如图3）的总电阻为RFG．当Ri=ai ，i=3，4，5，6，R1，R2是a1，a2的任意排列时，RFG最小． 证明如下

1

°设当两个电阻R1，R2并联时，所得组件阻值为R：则1 1 1．故交换二电阻的位置，

R

R1

R2

不改变R值，且当R1或R2变小时，R也减小，因此不妨取R1>R2． 2°设3个电阻的组件(如图1)的总电阻为RAB：

RAB

RR R1R3 R2R3R1R2

． R3 12

R1 R2R1 R2

显然R1+R2越大，RAB越小，所以为使RAB最小必须取R3为所取三个电阻中阻值最小的一个．

3°设4个电阻的组件(如图2)的总电阻为RCD：

RR R1R3 R1R4 R2R3 R2R4111． 12

RCDRABR4R1R2R4 R1R3R4 R2R3R4若记S1

1 i j 4

RR

i

j

，S2

i

1 i j k 4

RRR

j

k

．则S1、S2为定值．

于是RCD

S2 R1R2R3

．

S1 R3R4

只有当R3R4最小，R1R2R3最大时，RCD最小，故应取R4<R3，R3<R2，R3<R1，即得总电阻的阻值最小．

4°对于图3，把由R1、R2、R3组成的组件用等效电阻RAB代替．要使RFG最小，由3°必需使R6<R5；且由1°，应使RCE最小．由2°知要使RCE最小，必需使R5< R4，且应使RCD最小． 而由3°，要使RCD最小，应使R4< R3 < R2且R4< R3 < R1．