R0019,高中数学竞赛专题讲座---排序、均值、柯西(6)

21 x21

∴，事实上， x x 22

1 x22 3

1 x22

3

xx

1

2

2

2

2 1 x

0，

显然成立.

同理

y1 y

2

2

21 z21

，y z ， 2

2 3

1 z22 3

三式相加得，

x

2

x 1y 1z 1方法二：本题也可尝试基于去掉分母的待定系数法：待定系数 , 0，使得

1

y

2

z

2

x 3

x1 x x1 x 3 x1 x x1 x 3 22

1 x1 x

x

3 x，

，

1

满足

x1 x

2

其中x x 1 x x 1 x ，

2

2

3

，

解得

2

9

2

x

9

22

，

92

，

，

2

2

278

，∴

z

x1 x

2

92

2

x

2

x

92

x，即

2

1 x

2

x，

同理，

y1

y

y，

2

1 z

2

z，三式相加得，

xx 1

2

5

yy 111 xi

2

zz 1

2

5

xi4 xi

2

相关题1.(2003年西部奥林匹克题)设xi 0(i 1,2,3,4,5)且

i 1

1,求证:

i 1

1.

x4 x

2

15

3

41 x

(

1

15

) (x 4)(x 4) 0.

2

相关题2.(《中学生数学》2006年增刊--帮你参加全国数学联赛第7套模拟题) 已知a,b,c为正实数，且a4 b4 c4 3，证明

注意到ab

14 ab

14 bc

14 ca

1.

，为此只需证明

4

4

4

1，令a x,b y,c z，则问题转化为：

已知x,y,z为正实数，且x y z

31

2

14 t

13

118

2

1.

t 1

4 t

13

136

(x 1)，令t

x 3 2t， (1 t)

16

(1 t) (1 t)(2 t) 0.

22