R0019,高中数学竞赛专题讲座---排序、均值、柯西

时间:2025-07-14

排序、均值、柯西不等式及其应用

排序不等式、均值不等式、柯西不等式是不等式证明的基本工具,三者各有所长,这里我们先简单回顾一下三个不等式,然后结合具体题目谈谈它们在不等式证明中的应用。

一. 排序、均值、柯西不等式

① 排序不等式:

(i)对于两个有序数组a1 a2 an及b1 b2 bn,则

a1b1 a2b2 anb(同序) ai1bj1 ai2bj2 ainbbn(乱序) a1bn a2bn 1 anb(反序) n1

其中i1,i2, ,in与j1,j2, ,jn是1,2, n的任意两个排列,当且仅当a1 a2 an或

b1 b2 bn时式中等号成立.

(ii) 设0 a1 a2 an,0 b1 b2 bn,而i1,i2, ,in是1,2, ,n的一个排列,则 a11a22 an

b

b

bn

a1i1a2

b

bi

2

an

bi

n

a1na2

b

bn 1

an1.当且仅当a1 a2 an或b1 b2 bn时式中等

b

号成立.

(iii)设有n组非负数,每组n个数,它们满足: 0 ak1 ak2 akn(k 1,2, ,m),那么,从每一组中各取出一个数作积,再从剩下的每一组中各取一个作积,直到n次取完为止,然后将这些“积”相加,则所得的诸和中,以I a11a21 am1 a12a22 am2 a1na2n amn为最大.

(iv)设0 a1 a2 an,0

b1 b2 bn,

当且仅当a1 a2 an,

且b1 b2 bn时取等号. ② 平均值不等式:

设a1,a2, an是n

个正实数,则有号.

③ 幂平均值不等式:

1

1

a1 a2 an

n

a1 a2 an时取等

a a a a a a

2n12n

设0 ,n N,a1,a2, ,an R,则 1

nn

当且仅当a1 a2 an时取等号.

④ 加权幂平均值不等式

设p1,p2, ,pn R ,0 ,n N,a1,a2, ,an R ,则

1

1

p1a p2a pna

12n

p1 p2 pn

p1a p2a pna

12n

p1 p2 pn

2

2

2

2

2

,当且仅当a1 a2 an时取等号.

2

⑤ 柯西不等式:

(a1b1 a2b2 anbn) (a1 a2 an)(b1 b2 bn),当且仅当ai kbi(i 1,2, ,n)时

2

取等号.

推论1设a1,a2, ,an R ,则(a1 a2 an)(

1a1

2

1a2

2

2

1an

) n.

2

2

a1 a2 an

a1 a2 an

a,a, ,a推论2设12. n R,则

nn

二.典例解析

例1 (第17届IMO试题)已知xi、yi(i 1,2, ,n)为任意实数,且x1 x2 xn,y1 y2 yn.

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