R0019,高中数学竞赛专题讲座---排序、均值、柯西
时间:2025-07-14
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排序、均值、柯西不等式及其应用
排序不等式、均值不等式、柯西不等式是不等式证明的基本工具,三者各有所长,这里我们先简单回顾一下三个不等式,然后结合具体题目谈谈它们在不等式证明中的应用。
一. 排序、均值、柯西不等式
① 排序不等式:
(i)对于两个有序数组a1 a2 an及b1 b2 bn,则
a1b1 a2b2 anb(同序) ai1bj1 ai2bj2 ainbbn(乱序) a1bn a2bn 1 anb(反序) n1
其中i1,i2, ,in与j1,j2, ,jn是1,2, n的任意两个排列,当且仅当a1 a2 an或
b1 b2 bn时式中等号成立.
(ii) 设0 a1 a2 an,0 b1 b2 bn,而i1,i2, ,in是1,2, ,n的一个排列,则 a11a22 an
b
b
bn
a1i1a2
b
bi
2
an
bi
n
a1na2
b
bn 1
an1.当且仅当a1 a2 an或b1 b2 bn时式中等
b
号成立.
(iii)设有n组非负数,每组n个数,它们满足: 0 ak1 ak2 akn(k 1,2, ,m),那么,从每一组中各取出一个数作积,再从剩下的每一组中各取一个作积,直到n次取完为止,然后将这些“积”相加,则所得的诸和中,以I a11a21 am1 a12a22 am2 a1na2n amn为最大.
(iv)设0 a1 a2 an,0
b1 b2 bn,
当且仅当a1 a2 an,
且b1 b2 bn时取等号. ② 平均值不等式:
设a1,a2, an是n
个正实数,则有号.
③ 幂平均值不等式:
1
1
a1 a2 an
n
a1 a2 an时取等
a a a a a a
2n12n
设0 ,n N,a1,a2, ,an R,则 1
nn
当且仅当a1 a2 an时取等号.
④ 加权幂平均值不等式
设p1,p2, ,pn R ,0 ,n N,a1,a2, ,an R ,则
1
1
p1a p2a pna
12n
p1 p2 pn
p1a p2a pna
12n
p1 p2 pn
2
2
2
2
2
,当且仅当a1 a2 an时取等号.
2
⑤ 柯西不等式:
(a1b1 a2b2 anbn) (a1 a2 an)(b1 b2 bn),当且仅当ai kbi(i 1,2, ,n)时
2
取等号.
推论1设a1,a2, ,an R ,则(a1 a2 an)(
1a1
2
1a2
2
2
1an
) n.
2
2
a1 a2 an
a1 a2 an
a,a, ,a推论2设12. n R,则
nn
二.典例解析
例1 (第17届IMO试题)已知xi、yi(i 1,2, ,n)为任意实数,且x1 x2 xn,y1 y2 yn.
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