R0019,高中数学竞赛专题讲座---排序、均值、柯西(4)
时间：2025-07-14
例8 x3(x y)
13
(x y) (1)
22
2
证：事实上，（1）式等价于3(x3y y3z z3x) (x2 y2 z2)2 （2） 采用增量换元法： x z a,y z a b证明（2）式成立.（2）是等价于
(a ab b)z (a 3ab 2ab b)z a ab ab ab b 0 (a 3ab 2ab b) 4(a ab b)(a ab ab ab b) 3(a ab 2ab b) 0.借助恒等式：
(xy yz zx) (xy yz zx) (xy yz zx)(x y z) 3xyz(x y z)
3
3
3
3
3
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2
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4
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3
2
2
3
4
（2）式等价于 (xy yz zx) (xy yz zx) (x y z)(x y)(y z)(z x)知，
3(x y z)(x y)(y z)(z x) 2(x y z)
3(x y z)(xy yz zx) 3xyz(x y z) （3） 对（2）式作变换： x
12
42
2
2
2
2
2
2
333333
(s a),y
4
4
12
(s b),z
2
2
2
12
2
(s z)（其中s
2
2
12
，则有 (a b c)，a、b、c为 ABC的三边长）
3
3
3
3
3
3
3(a b c) 10(ab bc ca) abc(a b c) 9(ab bc ca) 3(ab bc ca) （4）
例9 （第三届中国东南地区数学奥林匹克题6)求最小的实数m，使得对于满足a+b+c=1的任意正实数
222
a，b，c，都有m(a3 b3 c3） （6a b c） 1．
解：当a=b=c
13
222
时，有m 27．下证不等式27（a3 b3 c3） 6（a b c） 1对于满足a+b+c=1
的任意正实数a，b，c都成立．
32
因为对于0 x 1，有27x 6x 5x
43
81x 18x 15x 4 0 （3x 1）（9x 4） 0，
43
322
故27x 6x 5x
32
43
32
,0 x 1,∴27a 6a 5a
,27b 6b 5b
32
43
27c 6c 5c
32
43
.
222
把上面三个不等式相加，得27（a3 b3 c3） （6a b c） 1,∴m的最小值为27．
解法二：当a=b=c
13
222
时，有m 27．下证不等式 27（a3 b3 c3） 6（a b c） 1对于满足
a+b+c=1的任意正实数a，b，c都成立．
因为(a b)(a b) 0，所以a b ab ab，同理，b c bc bc,c a ca ca, 于是2(a b c) ab bc ca ab bc ca，
3(a b c) a b c ab bc ca ab bc ca
2
2
2
2
2
2
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2
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3
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2
2
2
2
2
332233223322
(a b c)(a b c) a b c.所以6（a b c） 1 6（a b c） (a b c) 6(a b c) 3(a b c) 9(a b c) 27（a b c）,∴m的最小值为27．
6（a b c）(a b c）-(a b c) 0 解法三：（齐次化）27(a b c）
3
3
3
2
2
2
3
3
3
20(a b c）-9（ab bc ca ab bc ca）-6abc 0 20(a b c+3abc-ab bc ca ab bc ca） +11（ab bc ca ab bc ca-6abc) 0.当a=b=c
2
2
2
2
2
2
333222222
333222222
13
时，有m 27．
1
6
2
例9对任意实数x,y,z，1
6
(x y 9z) xy 2xz 3yz
2
2
222
(x y 9z).
222
证：当x y z时，所证不等式显然成立.当x,y,z不全为零时，x y 9z 0, 将所证不等式可变形为
1
6x y 9z6x y 9z
① 式中的x,y,z均可取一切实数（x,y,z不同时为零即可）.不妨取变量z作为考查对象.
xy 2xz 3yz
2
2
2
1 . 令
xy 2xz 3yz
2
2
2
k. ①
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