R0019,高中数学竞赛专题讲座---排序、均值、柯西(3)

为此只需证明

a b(c a) (b c)

A

b c(c a) (a b)

B

,c tan

C

c a(a b) (b c)

32

.显然.

222

111992A2B2C

等价于 cos cos cos 222

a 1b 1c 142224

B CB C2A2B2C2A

cos cos cos 2 sin coscos

222222 2 sin

2

证法三: 令a tan,b tan,0 A,B,C ,A B C ,

A2

cos

B C2

2 sin

2

A2

sin

A2

94

(sin

A2

12

)

2

94

.

例5 设x,y,z R ,A,B,C为DABC的三个内角,求证

: xsinA ysinB zsinC

12

(xy yz zx证: 记u ysinB zsinC,v zsinC xsinA,w xsinA ysinB,则

u (ysinB zsinC) (ycosB zcosC) y z 2yzcos(B C),cos(B C)

2

2

2

2

2

y z u

2yz

222

,

同理cos(A B)

z x v

2zx

222

,cos(A B)

x y w

2xy3

222

,三式相加得 w

2

x y w

2xy

2

222

cos(A B) cosC 2,故

u

2

2xy

2

2

x yxy

2

22

.而由柯西不等式得,

(u v w) (yz zx xy)(

2

yz

v

2

zx

w

2

xy

) (yz zx xy)(3

x yxy

)

(yz zx xy)

(x y z)

xy

.

即xsinA ysinB zsinC

b

2

12

(xy yz zx例6 已知a,b,

c R，求证：证: 由柯西不等式知,

2

2

2

2

2

2

2

a

2

c

2

b

a

2

c

2

(1)

3(ab bc ca) 3(a b c)(ab bc ca) (a b c),即

22222223

ab bc ca

222

3

42

3

a b c)2 (2)

222

b

2

a

c

2

b

a

2

c

b

ab

c

42

bc

a

42

ca

(a b c)

2

2

22222

ab

bc cab

2

3

2222

.

例7 已知a,b,

c,d R，则有

2

2

2

2

2

2

ab证: 由柯西不等式和均值不等式知,

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

c

2

d

2

c

a

2

d

2

。

4(ab bc cd da) 4(a b c c)(ab bc cd da) 4(a b c c)(a c)(b d) (a b c d),即

2

2

2

3

22222222

ab bc cd da

(a b c d)

2

2

2

2

2

2

2

22

2222

12

3

(a b c d),

2

2222

b

2

a

3

c

2

b

d

2

c

a

2

d

b

42

ab

c

42

bc

d

42

cd

a

42

da

ab bc cd da

(a b c d)12

2

2

2

2

22222

.

(a b

c d)2