R0019,高中数学竞赛专题讲座---排序、均值、柯西(2)

nn

2

又z1,z2, ,zn是y1,y2, ,yn的任意一个排列，试证： (xi yi)

i 1

n

n

2i

n

2i

n

(x

i 1

i

2

zi).

证: ∵ y

i 1

z

i 1

,故原不等式等价于 xiyi

i 1

xz

i

i 1

i

,此式左边为顺序和,右边为乱序和,由排

序不等式知其成立.

a b c

例2 (美国第3届中学生数学竞赛题) 设a,b,c是正实数,求证:a

a

bc (abc)

bc

3

证: 不防设a b c 0,则lga lgb lgc,据排序不等式有 :

alga blgb clgc blga clgb algc

alga blgb clgc clga algb blgc,以上两式相加,再两边同加alga blgb clgc,

整理得:3(alga blgb clgc) (a b c)(lga lgb lgc) 即lg(

abc)

abc

a b c

3

a b c

lg(abc),故 abc (abc)

a bca(b c)

22

abc

3

.

例3 a,b,c R,求证:证: 左边=(

(a b)(a c)a(b c)

b cab(c a) 1) (

2

2

c abc(a b)

2

3。

a bca(b c)

2

1) (

b cab(c a)

c abc(a b)

1) 3

(b c)(b a)b(c

a)

(c a)(c b)c(a b)

3

3 3

3 3 2 3 3. a bca(b c)

2

注:本题也可以由

a b ab bc,再处理.

1a 1

2

cca

例4 已知a,b,c为正实数，且ab bc ca 1，证明证: 原不等式等价于a

22

1b 1

2

1c 1

2

94

.

a

2

2

a 1

2

b

2

2

b 1

2

2

c

2

2

c 1

2

34

2

,由柯西不等式，可得

(a b c)

2

2

2

a 1

b

2

2

b 1

2

c

2

2

c 1

2

(a b c)

2

a 1 b 1 c 1

a b c 3(ab bc ca)

2

(a b c)(a b c)

(a b c)

2

34

(a b c) (ab bc ca)

13

.

(a b c)

证法二:

a

2

2

a 1

b

2

2

b 1

abc

2

2

c

2

2

c 1

34

a

2

2

(a b)(a c)

2

2

b

2

(b c)(b a)

34

c

2

(c a)(c b)

34

.

由柯西不等式，可得

ab

2

bc

(a b)(a c)

(b c)(b a)

(a b)b c

(c a)(c b)

,

c a(b c) (a b)

(a b)(a c)

2

a b(a c) (b c)

a

2

(b c)(b a)

2

(a b)(a c) (b c)(b a)(c a) (a b)

(b c)(b a)

(c a)(c b)

,

c

2

(c a)(c b)(a b)(a c)

,