对数函数与指数函数的导数(一)61教案示例(2)

对数函数与指数函数的导数(一)61教案示例

2．新授

1．直接给出对数函数的导数公式(1)(lnx)′＝2．求证对数函数的导数公式(2)(logax)′＝证明：(logax)′＝(

lnxlna

)′＝

1lna

·

1x＝

1x

1x1x．

logae．

logae．

注：以上两个公式均是对数函数的导数公式． 公式(1)尤其简单易记，lnx的导数等于x-1．

公式(2)略显复杂，logax的导数除了x，还有另一因子logae，即1lna

1

，由证明过程看出是由使用换底公式而来．

试思考：求幂函数xm的导数能得x-1吗？ 3．公式的应用

让学生解答教科书例1，用多媒体展示其过程，需强调中间变量u＝2x2＋3x＋1． 让学生解答教科书例2，并分组交流、讨论、比较各种解法的优劣，引导学生归纳方法和技巧，寻找规律性的策略．

这样，突出了学生的主体地位，学生感到自己会学习，增强了学会学习、学会求知的兴趣和信心．

此处可向学生说明，真数中若含乘方或开方、乘法或除法的，均可先变形再求导．此例中解法2优于解法1，实际上，解法1中y＝lgu，

u＝12

v，v＝1－x，取了两个中间变量，属于多重复合．而解法2中y＝

2

2

lgu，u＝1－x，仅有一次复合，所以其解法显得简单，不易出错．

增例：求下列函数的导数：

(1)y＝log2(x＋＋x)；(3)y＝ln

sin2xx

；

2

(2)y＝ln

1+x1 x

2

22

；

(4)y＝lnsin(e－x)．

边分析，边讲解．

解：(1)y′＝

log2ex ＝

1 x

2

(x x)′

2

[1

x1 x

2

log2ex

1 x

2

12 x

)

2

2

·(1 x)′]

2

＝

log2ex

1 x

2

(1

＝

log2e x

解：(2)由对数运算性质，有

y＝

12

[ln(1＋x)－ln(1－x)]．

2

2