a 1 a 1∴ 在x [1,3]时恒成立，或 在x [1,3]时恒成立， 22

a xa x

∵ 9 x 1，∴a 1或a 9 ………………

（6分）

（II）F(x) 1x2 alnx, (a 1)x，F (x) x a (a 1) (x a)(x 1)

2

x

x

∵F(x)定义域是(0, )，a (1,e]，即a 1

∴F(x)在(0,1)是增函数，在(1,a)实际减函数，在(a, )是增函数 ∴当x 1时，F(x)取极大值M F(1) a 1，

2

当x a时，F(x)取极小值m F(a) alna 1a2 a， ………………（8分）

2

∵x1,x2 [1,a]，∴|F(x1) F(x2)| |M m| M m ………………（10分）

设G(a) M m a2 alna ，则G (a) a lna 1，

1a

∴G (a) a lna 1在a (1,e]是增函数，∴G (a) G (1) 0

11

∴G(a) a2 alna 在a (1,e]也是增函数 ………………（12

22

1

212

∴[G (a)] 1 ，∵a (1,e]，∴[G (a)] 0

分）

121(e 1)2

1， ∴G(a) G(e)，即G(a) e e

222

121(e 1)2(3 1)2

1 1 1，∴G(a) M m 1 而e e

2222∴当x1,x2 [1,a]时，不等式|F(x1) F(x2)| 1成立． ………………（14

分）

11．解：（I）f (x) e

1

x

1 ex1

0，得x

ex

当x变化时，f (x)与f(x)变化情况如下表：

e

∴当x 1时，f(x)取得极大值f() 2，没有极小值； …………（4

e

分）

（II）（方法1）∵f (x0) kAB，∴

lnx2 lnx1 e(x2 x1)1x xx

e ，∴21 ln2 0 x0x2 x1x0x1