72　

m

统计研究2008年7月　

2

2( yj Y- y Yj)( y- Y)

i=1

∑WS

ijkh≠j

2ij

-2

Yj YWj

2

nj

-Nj

m

m

i=1

∑WS

ij

2ij

E

=

∑

2

Wh Yh

k

nj

yYn0

2

4

2

Y0 Y

4

E( yj Y- y Yj)( y

2

--

Nj

i=1m

∑

WijSij

Sih

2

2

- Y)=O

(8)

(11)

+ Yj

h≠j

W∑

2h

nh

2

Nh

i=1

∑W

ih

而

E( yj Y- y Yj)( y- Y)= YE( yj- Yj)( y

2

2

2

(10)和(11)得由式(8)、

2

MSE(sj)=E(sj-Sj)

=1

k

- Y)+ YjE( y- Y)-2 Yj YE( yj- Yj)( y- Y)

2

2

4

3

Y+

4

h≠j

∑

kh≠j

Wh Yh

2

2

nj

-

Nj

m

m

i=1

∑

2

WijSij

2

由于(许宝　,1982)

E( yij- Yij)=E( yij- Yij)=OE( yij- Yij)=O

24

3

Y jY

4

2

nij

2

∑

2

Wh

n-

i=1

∑

WihSih+O

n0

2

,

(9)

(12)

nij

():

sj)=

Y-2Wj Yj Y

Y

4

从而

m

E( yj- Y)

2

+

Yj Y

4

2

E( y

E( yj- Yj)

2

2

4

=

iWijijij)

44

i≠h

Wij( yij

2

2

- Y)+O

n0

2

- Yij)WhjE( yhj≤O

k

nj

2

k

2即式(12)实际上同时包含了E( yj- Y)和E( y2- Y)。

2j

E( y- Y)

2

2

4

=

j=1

∑W

4j

E( yj- Yj)

2

4

+3

j≠h

W∑

E( yj(三)均方误差的估计

- Yj)WhE( yh- Yh)

≤O

根据式(12),MSE(sj)的矩估计为:

mse(sj)=

nj

2

1

k

且

E( yj- Yj)( y- Y)

3

y-

4

h≠j

W y∑

hm

2

nj

h

-

Nj

m

i=1

∑Ws

ij

2ij

=WjE( yj- Yj)≤O

34

nj

2

+

yj y

4

2

k

h≠j

W∑

2h

nh

Nh

i=1

∑W

ih

sih

2

(13)

于是

2( yj Y- y Yj)( y- Y)

E

下面讨论均方误差估计的偏差。

对式(13)的第一项,有:

1

Y0 Y

2

4

yY

2

4

E( yj Y- y Yj)( y

2

1

k

y

(10)

4

h≠j

y∑W

h

2

h

=

1

y

2

+

Wj yj

224

y

-

2Wj yj

y

3

2

- Y)=O

n

2

其中,1

最后

222

E( yj Y- y Yj)( y- Y)= YE( yj- Yj)( y- Y)

32+ YjE( y- Y)-2 Yj YE( yj- Yj)( y- Y)

2

y y

2

===

1

Y1

2

---

( y+ Y)( y- Y)

1

4

y Y

22( y+ Y)( y+ Y)( y- Y)

2

2

由式(9)

E( yj- Yj)( y- Y)=WjE( yij- Yij)

k

Y1

4

23

≤On0

2

1

y Y22( y+ y Y+ Y)( y- Y)

4

4

nj

2

y

3

Y

3

y Y

3

3

E( y- Y)

3

=

j=1

∑W

3j

E( yj- Yj)

3

≤O

根据抽样理论

22E(sij)=Sij

223

E( yj- Yj)( y- Y)=WjE( yj- Yj)≤O

而

m

nj

2

得

E( y- Y)

i=1

∑

Wijsij

2

=O

n0