高中数学教育教学论文 浅谈导数的应用

1 浅谈导数的应用

重视知识的发生发展过程，以能力立意，突出理性思

维是高考数学命题的指导思想。重视知识形成过程的思想和方法，在知识网络的交汇点设计考题是高考命题的创新主体。导数是新教材中新增内容。由于其应用的广泛性，为我们所学过的有关函数问题，曲线问题提供了一般性的方法，运用它可以简捷地解决一些实际问题。特别是新编教材对三角、复数等部分知识的删减，使导数的位置更加重要。由于新教材的导数在高中教材中的特殊地位，和新课程改革的不断深入，因而导数知识及其与其他知识的交汇备受高考的关注，已成为高考命题的新热点。

一、用导数求曲线的切线

导数的几何意义：函数y=f (x)在x=x 0处的导数，就是曲线

y=f(x)在点p (x 0 , f(x 0))处的切线的斜率，利用上述结论，可以求解曲线的切线及相关问题。

[例1]（2003年全国高考题新课程卷）

已知抛物线c 1:y=x 2+2x 和c2:y=-x 2+a 如果直线l 同时是c 1和c 2的切线，称l 是c 1和c 2的公切线，当a 为何值时，c 1和c 2有且仅有一条公切线？写出公切线的方程。

解：函数y=x 2+2x 的导函数y ‘=2x+2

曲线c 1在点p (x 1,x 12+2x 1)的切线方程为：

p 1: y -(x 12+2x 1)=(2x 1+2)(x -x 1)即：

y=(2x 1+2) x -x 12 ①

函数y=-x 2+a 的导函数y ‘=-2x

曲线c 2在点Q （x 2, -x 22+a ）的切线方程为：

P 2：y -(-x 22+a)=-2x 2 (x -x 2)即：

y=-2x 2x+x 22+a ②

如果l 是个点P 和点Q 的公切线，则①和②均为l 的方程 有：⎩⎨⎧+=--=+a x x x x 2221

21

1 消去x 2得：0122121=+++a x x 令,2

1,21,0)1(2441-=-==+⨯-=∆x a a 此时点P 和Q 重合。 21,21c c a 和时-=∴有且仅有一条公切线，公切线方程为：4

1-=x y 。 [评述]导数的几何意义使得导数与解析几何结合奠定了基础，而本题引入公切线新颖别致，交汇自然，同时本题又渗透了同一法的解题思想。

二、 利用导数求函数的单调区间