距离之和h=x – (-10) + 14 – x + |x-3| 24,且当x=3时，h=24.因此,当P(3,1)时，d=21+24=45. 所以，当点P(x,y)满足P(3,1)时,点P到A,B,C三点的“L路径”长度之和d的最小值为45. 21．（本小题满分13分） 过抛物线E:x 2py(p 0)的焦点F作斜率分别为k1,k2的两条不同的直线l1,l2，且

2

k1 k2 2，l1与E相交于点A，B，l2与E相交于点C，D。以AB，CD为直径的圆M，圆N

（M，N为圆心）的公共弦所在的直线记为l。

2

（I）若k1 0,k2 0，证明；FM FN 2P；

（II）若点M到直线l

的距离的最小值为

2

，求抛物线E的方程。 【答案】 （Ⅰ） 见下 （Ⅱ）x 16y 【解析】 (Ⅰ) F(0,

p

).设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),M(x12,y12),N(x34,y34)，

2p

直线l1方程：y k1x ,与抛物线E方程联立，化简整理得： x2 2pk1x p2 0

2

x xp22

x1 x2 2k1p,x1 x2 p2 0 x12 12 k1p,y12 k1p FM (k1p, k1p)

22

x xp22

同理, x34 12 k2p,y34 k2p FN (k2p, k2p).

22

FM FN k1k2p2 k1k2p2 p2k1k2(k1k2 1)

k1 0,k2 0,k1 k2,2 k1 k2 2k1k2 k1k2 1, FM FN p2k1k2(k1k2 1) p2 1 (1 1) 2p2

所以，FM FN 2p2成立. (证毕)

（Ⅱ）

22

1pp1p22

设圆M、N的半径分别为r1,r2 r1 [( y1) ( y2)] [p 2(k1p )] k1p p,

22222

r1 k1p p,同理2r1 k2p p,

22

设圆M、N的半径分别为r1,r2.则M、N的方程分别为(x x12)2 (y y12)2 r12， (x x34)2 (y y34)2 r2，直线l的方程为：

2(x34 x12)x 2(y34 y12)y x12 x34 y12 y34-r1 r2 0.

2p(k2 k1)x 2p(k2 k1)y (x12 x34)(x12 x34) (y12 y34)(y12 y34) (r2-r1)(r2 r1) 0

2

2

2

2

2

2

2

2

2