最优化方法及其matlab程序设计 马昌凤版 课后答案 杭电课件

1TT

=1λxG(1 λ)(x y)+(1 λ)yGλ(y x)1=λ(1 λ)(x y)TG(x y)>0G正定保障了严格不等式成立。反之，必要性：严格凸函数=》Hesse矩阵G正定.

类似，当对任意x=y,及任意实数λ∈(0,1)都有f(λx+(1 λ)y)<λf(x)+(1 λ)f(y).

1TT

λf(x)+(1 λ)f(y) f(λx+(1 λ)y)=λ(1xGx)+(1 λ)(yGy) 111TTT[(λx)TG(λx)+1(1 λ)yG(1 λ)y+λxG(1 λ)y+(1 λ)yGλx]111TTTT=1λxG(1 λ)x+(1 λ)yGλy λxG(1 λ)y (1 λ)yGλx1TT=1λxG(1 λ)(x y)+(1 λ)yGλ(y x)1=λ(1 λ)(x y)TG(x y)>0

4.若对任意x∈ n及实数θ>0都有f(θx)=θf(x),证明f(x)在 n上为凸函数的充要条件是 x,y∈ n,f(x+y)≤f(x)+f(y)证明：根据严格凸函数定义证明。

定义：对任意x=y,及任意实数λ∈(0,1)都有f(λx+(1 λ)y)≤λf(x)+(1 λ)f(y).

充分条件： x,y∈ n,有f(x+y)≤f(x)+f(y)

对任意x=y,及任意实数λ∈(0,1)都有f(λx+(1 λ)y)≤f(λx)+f((1 λ)y)利用f(θx)=θf(x),

f(λx+(1 λ)y)≤f(λx)+f((1 λ)y)=λf(x)+(1 λ)f(y).充分性证毕；

必要性：f(x)在 n上为凸函数=》 x,y∈ n,f(x+y)≤f(x)+f(y)根据定义有对任意x=y,及任意实数λ∈(0,1)都有f(λx+(1 λ)y)≤λf(x)+(1 λ)f(y).

不妨取λ=1,则111f(x+(1 1)y)≤f(x)+(1 )f(y).利用f(θx)=θf(x),

11f((x+y))=f(x+y)≤1(f(x)+f(y))

x,y∈ n,f(x+y)≤f(x)+f(y)证毕!

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