最优化方法及其matlab程序设计 马昌凤版 课后答案 杭电课件

把(1)中的两个式子对应的左右两部分分别乘以λ和1 λ,然后再相加，即得

λ(2x1+x2)+(1 λ)(2y1+y2)≥1,λ(x1 2x2)+(1 λ)(y1 2y2)≥1

合并同类项，

2(λx1+(1 λ)y1)+(λx2+(1 λ)y2)≥1,(λx1+(1 λ)y1) 2(λx2+(1 λ)y2)≥1

证毕.

2.判断下列函数为凸（凹）函数或严格凸（凹）函数：

2

(3)f(x)=x21 2x1x2+x2+2x1+3x2

(2)

(3)

首先二阶导数连续可微，根据定理1.5，f在凸集上是（I）凸函数的充分必要条件是 2f(x)对一切x为半正定；（II）严格凸函数的充分条件是 2f(x)对一切x为正定。

(

f(x)=

半正定矩阵（4）

2

2 2 22

)

(4)

41

2

f(x)= 12

30

30 4

(5)

正定矩阵

1T

3.证明f(x)=xGx+bTx为严格凸函数当且仅当Hesse矩阵G正定。

证明：根据严格凸函数定义证明。

对任意x=y,及任意实数λ∈(0,1)都有f(λx+(1 λ)y)<λf(x)+(1 λ)f(y).充分性：Hesse矩阵G正定=》严格凸函数.

TTf(λx+(1 λ)y)=1(λx+(1 λ)y)G(λx+(1 λ)y)+b(λx+(1 λ)y)1TTTTλf(x)+(1 λ)f(y)=λ(1xGx+bx)+(1 λ)(yGy+by)

1TTλf(x)+(1 λ)f(y) f(λx+(1 λ)y)=λ(1xGx)+(1 λ)(yGy) 111TTT[(λx)TG(λx)+1(1 λ)yG(1 λ)y+λxG(1 λ)y+(1 λ)yGλx]111TTTT=1λxG(1 λ)x+(1 λ)yGλy λxG(1 λ)y (1 λ)yGλx

2