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2)(1(1)(--=z z z f ，求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的洛朗展开式。。 解：∑∑∞=∞=+-=-+--=---=--=1

1221112/11211121)2)(1(1)(n n n n n z z z z z z z z z f 。 16、求函数)2sin(3z 的幂级数展开式。 解：...)!12()2()1(...!3)2(2)2sin(1233

33

3++-++-=+n z z z z n n ； 17、求函数6

3

sin z z 在+∞<<||0z 内的罗朗展式。 解：...)!12()1(...!31sin 3

63363++-++-=-n z z z

z z n n ； 四、证明题

1、若函数f (z )在z 0处可导，则f (z )在z 0连续。

证明：根据定义可得：若函数f (z )在z 0处可导，则f (z )在z 0连续。

2、若数列}{n z 收敛，则} {Re n z 与} {Im n z 都收敛。

证明：利用不等式:

202000|||||||,|y y x x y y x x n n n n -+-≤--

3、设函数f (z )在区域D 内解析，试证：f (z )在D 内为常数的充要条件是)(z f 在D 内解析。 证明 (必要性) 令

,则. (为实常数). 令

. 则. 即满足, 且

连续, 故在内解析. (充分性) 令, 则

,