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初中数学竞赛专题选讲

勾股定理

一、内容提要

1. 勾股定理及逆定理：△ABC中 ∠C＝Rt∠ a2＋b2=c2

2. 勾股定理及逆定理的应用

① 作已知线段a的2，3， 5……倍

② 计算图形的长度，面积，并用计算方法解几何题

③ 证明线段的平方关系等。

3. 勾股数的定义：如果三个正整数a,b,c满足等式a2＋b2=c2，那么这三个

正整数a,b,c叫做一组勾股数.

4. 勾股数的推算公式

① 罗士琳法则（罗士琳是我国清代的数学家1789――1853）

任取两个正整数m和n(m>n),那么m2-n2，2mn, m2+n2是一组勾股数。

k2 1k2 1② 如果k是大于1的奇数，那么k, ,是一组勾股数。 22

K K ③ 如果k是大于2的偶数，那么k, 1, 1是一组勾股 2 2

数。

④ 如果a,b,c是勾股数，那么na, nb, nc (n是正整数)也是勾股数。

5. 熟悉勾股数可提高计算速度，顺利地判定直角三角形。简单的勾股数有：

3，4，5； 5，12，13； 7，24，25； 8，15，17； 9，40，41。

二、例题

例1.已知线段a a 22a2a 3a a 求作线段5a

分析一：5a＝5a2＝4a2 a2 2a ∴5a是以2a和a为两条直角边的直角三角形的斜边。

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