高中数学竞赛讲义

目录

第一章 第二章

集合 2 函数 15

§2.1 函数及其性质 15 §2.2 二次函数 21 §2.3 函数迭代 28 §2.4 抽象函数 32

第三章 数列 37

§3.1 等差数列与等比数列 37 §3.2 递归数列通项公式的求法 44 §3.3 递推法解题 48

第四章 三角 平面向量 复数 51 第五章 直线、圆、圆锥曲线 60 第六章 空间向量 简单几何体 68 第七章 二项式定理与多项式 75 第八章 联赛二试选讲 82

§8.1 平几名定理、名题与竞赛题 82 §8.2 数学归纳法 99 §8.3 排序不等式 103

第一章 集合

集合是高中数学中最原始、最基础的概念，也是高中数学的起始单元，是整个高中数学的基础.它的基础性体现在：集合思想、集合语言和集合的符号在高中数学的很多章节如函数、数列、方程与不等式、立体几何与解析几何中都被广泛地使用.在高考试题和数学竞赛中，很多问题可以用集合的语言加以叙述.集合不仅是中学数学的基础，也是支撑现代数学大厦的基石之一，本章主要介绍集合思想在数学竞赛中出现的问题.

§1.1 集合的概念与运算

【基础知识】

一．集合的有关概念

1．集合：具有某些共同属性的对象的全体，称为集合.组成集合的对象叫做这个集合的元素.

2．集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性.

3．集合的分类：无限集、有限集、空集 .

4. 集合间的关系： 二．集合的运算

1．交集、并集、补集和差集

差集：记A、B是两个集合，则所有属于A且不属于B的元素构成的集合记作A\B.即A\B {x A且x B}.

2.集合的运算性质

(1)A A A,A A A(幂等律);

(2)A B B A, A B B A(交换律);

(3)(A B) C A (B C), (A B) C A (B C)(结合律);

(4)A (B C) (A B) (A C),A (B C) (A B) (A C)(分配律); (5)A (B A) A,A (A B) A(吸收律); (6)CU(CUA) A(对合律);

(7)CU(A B) (CUA) (CUB), CU(A B) (CUA) (CUB)(摩根律) (8)A\(B C) (A\B) (A\C),A\(B C) (A\B) (A\C).

3.集合的相等

(1)两个集合中元素相同,即两个集合中各元素对应相等; (2)利用定义,证明两个集合互为子集;

(3)若用描述法表示集合,则两个集合的属性能够相互推出(互为充要条件),即等价;

(4)对于有限个元素的集合,则元素个数相等、各元素的和相等、各元素之积相等是两集合相等的必要条件.

【典例精析】

【例1】在集合{1,2, ,n}中,任意取出一个子集,计算它的各元素之和.则所有子集的元素之和是 .

〖分析〗已知{1,2, ,n}的所有的子集共有2n个.而对于 i {1,2, ,n},显然{1,2, ,n}中包含i的子集与集合{1,2, ,i 1,i 1, ,n}的子集个数相等.这就说明i在集合

{1,2, ,n}的所有子集中一共出现2

n 1

次,即对所有的i求和,可得Sn 2

n 1

n 1

( i).

i 1

n

【解】集合{1,2, ,n}的所有子集的元素之和为2=n (n 1) 2.

n 1

(1 2 n) 2n 1

n(n 1)

2

〖说明〗本题的关键在于得出{1,2, ,n}中包含i的子集与集合{1,2, ,i 1,i 1, ,n}的子集个数相等.这种一一对应的方法在集合问题以及以后的组合总是中应用非常广泛. 【例2】已知集合A {x|x 3x 2 0},B {x|x 4ax 3a 0}且A B,求参数a的取值范围.

〖分析〗首先确定集合A、B,再利用A B的关系进行分类讨论. 【解】由已知易求得A {x| 2 x 1},B {x|(x a)(x 3a) 0} 当a 0时,B {x|a x 3a},由A B知无解; 当a 0时,B ,显然无解;

当a 0时, B {x|3a x a},由A B解得 1 a 综上知,参数a的取值范围是[ 1,].

〖说明〗本题中,集合的定义是一个二次三项式,那么寻于集合B要分类讨论使其取值范围数字化,才能通过条件求出参数的取值范围.

【例3】已知x R,y R,集合A {x x 1, x, x 1},B { y, 则x y的值是( )

A.5 B.4 C.25 D.10

【解】 (x 1) 0, x x 1 x,且 x x 1 0及集合中元素的互异性知

2

2

2

2

2

2

2

. 3

23

2

y

,y 1}.若A B,2

22

x2 x 1 x,即x 1,此时应有x2 x 1 x x 1.

而y R,从而在集合B中,y 1

y

y. 2

x2 x 1 y 1(1) y

由A B,得 x (2)

2 (3) x 1 y

由(2)(3)解得x 1,y 2,代入(1)式知x 1,y 2也满足(1)式.

x2 y2 12 22 5.

〖说明〗本题主要考查集合相等的的概念,如果两个集合中的元素个数相等,那么两个集合中

对应的元素应分别相等才能保证两个集合相等.而找到这种对应关系往往是解决此类题目的关键.

【例4】已知集合A {x,y,lg(xy)},B {0,|x|,y}.若A B,求(x

11

) (x2 2) yy

+(x

2008

1y2008

)的值.

〖分析〗从集合A=B的关系入手,则易于解决. 【解】 A B,

x xy lg(xy) |x| y

,根据元素的互异性,由B知x 0,y 0.

x xy lg(xy) 0

0 B且A B, 0 A,故只有lg(xy) 0,从而xy 1.

又由1 A及A B,得1 B. 所以

xy 1 xy 1

或 ,其中x y 1与元素的互异性矛盾!

|x| 1 y 1

所以x y 1,代入得:

111

(x ) (x2 2) +(x2008 2008)=( 2)+2+( 2)+2+ +( 2)+2=0.

yyy

〖说明〗本题是例4的拓展,也是考查集合相等的概念,所不同的是本题利用的是集合相等的必要条件,即两个集合相等,则两个集合中,各元素之和、各元素之积及元素个数相等.这是解 …… 此处隐藏：12256字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……