补充知识二次函数

二次函数

（1）二次函数解析式的三种形式 ①一般式：②顶点式：③两根式：

f(x) ax2 bx c(a 0) f(x) a(x h)2 k(a 0) f(x) a(x x1)(x x2)(a 0)

（2）求二次函数解析式的方法 ①已知三个点坐标时，宜用一般式．

②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式． ③若已知抛物线与x轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求（3）二次函数图象的性质

f(x)更方便．

①二次函数

b4ac b2b

) f(x) ax bx c(a 0)的图象是一条抛物线，对称轴方程为x ,顶点坐标是( ,

2a2a4a

2

②当a

0时，抛物线开口向上，函数在( ,

bbb

]上递减，在[ , )上递增，当x 2a2a2a

时，

4ac b2

fmin(x)

4a

；当a 0时，抛物线开口向下，函数在( ,

bb

]上递增，在[ , )上递减，当2a2a

4ac b2b

x 时，fmax(x)

2a4a

③二次函数

．

f(x) ax2 bx c(a 0)当 b2 4ac 0时，图象与x

轴有两个交点

M1(x1,0),M2(x2,0),|M1M2| |x1 x2|

（4）一元二次方程ax

2

． |a|

bx c 0(a 0)根的分布

2

设一元二次方程ax

bx c 0(a 0)的两实根为x1,x2，且x1 x2．令f(x) ax2 bx c，从以下四个方

面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：x①k＜x1≤x2

b

③判别式： ④端点函数值符号． 2a

②x1≤x2＜k

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③x

1＜k＜x2 af(k)＜0

④k1＜x1≤x2＜k2

⑤有且仅有一个根x1（或x2）满足k1＜x1（或x2）＜k2

f(k1)f(k2) 0，并同时考虑f(k1)=0或f(k2)=0这两种情况是否也符合

⑥k1＜x1＜k2≤p1＜x2＜p2 此结论可直接由⑤推出．

（5）二次函数 设

f(x) ax2 bx c(a 0)在闭区间[p,q]上的最值

，最小值为m，令x0

f(x)在区间[p,q]上的最大值为M

1

(p q)． 2

（Ⅰ）当a 0时（开口向上）

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①若

bbbb p，则m f(p) ②若p q，则m f( ) ③若 q，则m f(q) 2a2a2a2a

x

x

x

b x0，则M f(q) ② x0

，则M f(p) ①若 2a (Ⅱ)当a①若

①若

x

x

0时(开口向下)

bbbb p，则M f(p)

②若p q，则M f( ) ③若 q，则M f(q) 2a2a2a2a

x

x

x

f

f

bb x0，则m f(q) ② x0，则m f

(p)． 2a2a

x

f

x

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