第二章焊接过程的理论分析

Ｇ）对物体进行有限元进行剖分（区域的离散），把变分问题近似表示成

代数方程组；

０）求解代数方程组，得出近似解。

由于有限元法选取单元的类型较多，更适合于具有复杂形状和边界条件的物体。它以单元作为基本单位，可根据问题的需要，合理配置网格疏密程度；使在主要求解边界单元划分较密些，而在次要位置划分疏一些。有限元法的最大特点是对边界条件可以自然吸收进去，而且形成的刚度矩阵～般是对称的，有利于计算机的存贮及计算。由于温度场的计算常服务于热应力场的计算，如果获得了较精确的温度场的分布，那么，所求褥应力场及残余应力场的结果也就比较准确可靠，采用有限元法就把二者有机统一起来了。

２．３．２热传导的有限元分析

２．３．２．１基于变分的有限元法

变分法是利用泛函的极值，根据欧拉方程求解。具体到热传学上，就是根据式（２—２）构造出相应的泛函，再进行离散化处理。

下面利用变分法推导出三维温度场表达式；与式（２—２）、式Ｇ一４）对应的泛函为

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取ｖ的一阶变分为：

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通过使用变分法，使得试探函数只需满足基本（温度）条件。而不需要满足自然（温度梯度）边界条件。式（２—６）中的万Ｔ可以认为是一个虚量，方程可以这样理解：由纯导热引起的热传递的速率必须等于热生成的速率，这种物理解释对于发展和理解非线性热传导问题的增量有限元公式很有用。

由于非线性热传导方程式（２—２）的泛函非常难于得到，因此，采用变分法求解就比较困难，而采用加权余值法就可以很好的解决。用数学表达式可写成：