az1 =[1.0000 -1.9199 2.5324 -2.2053 1.3868 -0.6309 0.2045 -0.0450 0.0060 -0.0004] 因此脉冲响应不变法的系统函数为:

Himp(z)

0.0002z

1 1.9199z

1

1

0.0153z

2

0.0995z

3

3

0.1444z

4

0.0611z

5

0.0075z

6

0.0002z

7 8

0.0004z

9

2.5324z

2

2.2053z 1.3868z

4

0.6309z

5

0.2045z

6

0.0450z

7

0.0060z

bz2 =[0.0179 0.1072 0.2681 0.3575 0.2681 0.1072 0.0179] az2 =[1.0000 -0.6019 0.9130 -0.2989 0.1501 -0.0208 0.0025] 因此双线性变换法的系统函数为:

Hbil(z)

0.0179 0.1072z1 0.6019z

1

1

0.2681z

2

2

0.3575z

3

3

0.2681z

4

4

0.1072z

5

5

0.0179z

6

6

0.9130z 0.2989z 0.1501z 0.0208z 0.0025z

分析：

脉冲响应不变法的N=9，双线性变换法的N=6，由图知它们都满足要求，但脉冲响应的衰减较快，双线性变换的过渡带窄一些，且阶数比脉冲小，容易实现。

（3）利用双线性变换法分别设计满足下列指标的巴特沃思型、切比雪夫型和椭圆型数字低通滤波器，并作图验证设计结果：fc 1.2kHz， 0.5dB，fr 2kHz，

At 40dB,fs 8kHz。

解： 程序：

clear;

fs=8000;fc=1200;fr=2000;rp=0.5;rs=40; %巴特沃思低通滤波器 wp=2*fs*tan(2*pi*fc/fs/2); ws=2*fs*tan(2*pi*fr/fs/2);

[N, wn] = buttord(wp, ws, rp, rs, 's'); [b1 a1]=butter(N,wn,'s'); [bz1,az1]=bilinear(b1,a1,fs); [h1,w]=freqz(bz1,az1); H1=20*log10(abs(h1)); f=w/(2*pi)*fs;

figure; plot(f,H1);%对数幅度谱 axis([0,fs/2,-100,10]);

grid; xlabel('频率/Hz'); ylabel('幅度');

title('巴特沃思低通滤波器，对数幅度谱'); %切比雪夫低通滤波器 wc=2*fs*tan(2*pi*fc/(2*fs)); wt=2*fs*tan(2*pi*fr/(2*fs)); [N,wn]=cheb1ord(wc,wt,rp,rs,'s'); [b2,a2]=cheby1(N,rp,wn,'low','s'); [bz2,az2]=bilinear(b2,a2,fs); [h2,w]=freqz(bz2,az2);

H2=20*log10(abs(h2)); f=w*fs/(2*pi); figure; plot(f,H2);

axis([0,fs/2,-100,10]); grid;

xlabel('频率/Hz'); ylabel('幅度/dB');

title('切比雪夫低通滤波器，对数幅度谱'); %椭圆型数字低通滤波器

wp=2*fs*tan(2*pi*fc/fs/2); %双线性变换法 ws=2*fs*tan(2*pi*fr/fs/2);

[N,wp]=ellipord(wp,ws,rp,rs,'s'); [b3,a3]=ellip(N,rp,rs,wp,'low','s'); [bz3,az3]=bilinear(b3,a3,fs); [h3,w]=freqz(bz3,az3); H3=20*log10(abs(h3)); f=w/(2*pi)*fs; figure;plot(f,H3); axis([0,fs/2,-100,10]);

grid; xlabel('频率/Hz'); ylabel('幅度/dB'); title('椭圆型数字低通滤波器，对数幅度谱');