www.kh

31.证明方程1 x sinx=0在[0,1]中有且只有一个根。使用二分法求误差不大于1×10的根需要迭代

多少次？（不必求根）

答：设f(x)=1 x sinx,f(0)=1>0,f(1)= sin1<0,f (x)= 1 cosx<0,f(x)单调减，∴f(x)在[0,1]有且仅有一根。

daw.

本章重点：

用简单迭代法和牛顿迭代法求给定方程的根，并用有关定理判断所用迭代格式的收敛性。

co

后

2方程求根P47

m

|xk x |=

2

(1 0)≤1

设二分k次，取xk≈x ,

k≥9.965,所以要二分10

次。

2.用二分法求方程2e x sinx=0在区间[0,1]内的根，精确到3位有效数字。

x答：设f(x)=2e x sinx,f(0)>0,f(1)=2 sin1<0,f(x)= 2e cosx<0,所以f(x)在[0,1]内

有且仅有一根。

3.用简单迭代法求下列方程的根，并验证收敛性条件，精确至4位有效数字。1)x3 x 1=0;2)ex 4x=0;答：以2)为例.

答

案

设f(x)=ex 4x,则f (x)=ex 4,f (x)=0的根为ln4。当x<ln4时，f (x)<0;当x>ln4时，f (x)>0。

f(0)=1,f(1)<0,f(ln4)=4 4ln4<0,f(2)<0,f(3)>0,方程f(x)=0存在两个根：

x 1∈[0,1],x2∈[2,3].

w.

–求根x 1:

将方程f(x)=0在区间[0,1]改写成同解方程

1

x=ex,x∈[0,1]

41

xk+1=exk,k=0,1,2,···

4

1

(x)=ex>0.

44

kh

da

课

网

设二分k次，同上题计算，需二分10次。计算机计算略,x ≈0.921

。

ww

构造迭代格式

1x

记 (x)=e，则

ww

w.

kh

d

aw

.c

om

1

×10 3,2

3)4 x=tanx,x∈[3,4];4)ex 3x2=0.