5.3反比例函数的图象和性质

回顾与思考

一次函数的图象与性质一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是一 条直线,称直线y=kx+b. 当k>0时,yb>0 b=0 o x

当k<0时,b>0

y x

b=0 o

b<0

b<0

y随x的增大而增大;

y随x的增大而减小.

定义

k 形如y= (k≠0)的函 x

数叫反比例函数k y= (k≠0) xxy=k(k≠0)

复习提问

下列函数中哪些是正比例函数？ 2x ① y = 3x-1 ② y = 2x2 ③ y = 1 ④ y = x 3⑤ y = 3x ⑥ y=

1 x

1 3 ⑦ y = 3x ⑧ y = 2x

2、已知点P(x1,3)和点Q(-2,y1)满 1 1 1 足反比例函数y= ,则x1= 3 ,y1= 2 .

x 3、已知点P(2,-3)满足反比例函数

k y= x

,则k= - 6 .

回顾与思考

给反比例函数“照相”反比例函数的图象又会是什么样子呢? 你还记得作函数图象的一般步骤吗?

用图象法表示函数关系时,首先在自变 量的取值范围内取一些值,列表,描点,连线 (按自变量从小到大的顺序,用一条光滑的 曲线连接起来).

二、合作交流：问题1:对于一次函数 y = kx + b ( k 0 ),我们是 如何研究的？答: 我们先研究一次函数的定义，再研究一次函数图 象的画法，最后研究一次函数的性质。k y 问题2:对于反比例函数我们能否像一次函数那样进行 x

研究呢？

答:能.

例 1

6 y= x 和y= 画出反比例函数的函数图象.列 表 描 点 连 线

6 x

动手做一做：

函数图象画法

描点法

Xy= 6 x

… -3 …

-2

-1 -1

1 1

2 2

3 3

… … … …

Xy=

… -3 -2 6 x …

注意：①列表时自变量 取值要均匀和对称②x≠0 ③选整数较好计算和描点。

x

… -6

-5 -4

-3 -2

-1 1

23

3 2

4

5

6 1

… … …

y= 6 … x y= 6 … xy6 5 4 3 2 1 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 -5 -6 0

-1 -1.2 -1.5 -2 -3 11.2 1.5

-66

6

1.5 1.2

2

3

-6 -3

-2 -1.5 -1.2 -1y6

6 y =x1 2 3 4 5 6

6 y= x

5 4 3 2 1

x

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

x

-1-2 -3

反比例函数的图 像，叫双曲线。

-4 -5 -6

做一做 5

你认为作反比例函数图象时应注意哪些问题？ 列表时,自变量的值可以选取一些互为相反数的值,这 样既可简化计算,又便于对称性描点; 列表描点时,要尽量多取一些数值,多描一些点,这样 既可以方便连线,又较准确地表达函数的变化趋势; 连线时一定要养成按自变量从小到大的顺序，依次用 平滑的曲线连接,从中体会函数的增减性； ……

xy= 6 x

… -6

-5 -4

-3 -2

-1 1 -6

23

3

4

5

6

…

… -1 -1.2 -1.5 -2 -3

6

2

1.5 1.2

1

…

y6 5 4 3 2 1 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 -5 -6 0 1 2 3 4 5 6

y= 6 x

x

1、k>0 图象在第一和第 三象限，在每个 象限内y随x的增 大而减小.

x

… -6 1

-5 -41.2 1.5

-3 -2 2 3

-1 1 6

2

3

4

5

6 … …

y= 6 … x

-6 -3y

-2 -1.5 -1.2 -1

2、k<0 图象在第二 和第四象限， 在

每个象限 内y 随x的增 大而增大。

6

6 y= x

5 4 3 2 1

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

x

-1-2 -3 -4 -5 -6

反比例函数的图象和性质：1、k>0 图象在第一和第三象 限，在每个象限内y随x的增大而减小. 2、k<0 图象在第二和第四象 限，在每个象限内y 随x的增大而增大.

3,反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形。 有两条对称轴：直线y=x和 y=-x。对称中心是：原点k y=— x y

y=-x

y=x012

x

1、“双胞胎”之间的差异2 2 下面给出了反比例函数 y 和 y 的图 x 2 x 象，你能知道哪一个是 y 图象吗？为什么？ xy y2 y x

y

2 xo

o

x

x

A

B

练习1

反比例函数y= - 5 的图象大致是( D x y yA:o x

)

B:

o

x

y y

C:

x o

D:

o x

练习2

5 1.函数 y = x 的图象在第_____象限，在每 二,四 个象限内，y 随 x 的增大而_____ . 增大 y 1 1 9 2. 双曲线 y = 3x 经过点(-3,___) o 3.函数 y = m-2 的图象在二、四象限，则m的 x 取值范围是m < 2. ____ 1 4.对于函数 y = 2x ,当 x<0时，y 随x的增大 减小 三 而____,这部分图象在第 ________象限. 5.反比例函数 y =(2m+1)xm-2 , 在每一象限内 -1 y 随 x 的增大而增大，则m= ____.2

x