课件,三垂线定理

三垂线定理P o α A a

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三、三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这 三垂线定理：在平面内的一条直线，

个平面的一条斜线的射影垂直， 个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜 线垂直。 线垂直。 PA⊥α ① PA⊥a ② a⊥平面PAO ③ a α AO⊥a a⊥PO PO 平面PAOP a α① 线面垂直 性质

A

o② ③

线线垂直

线面垂直 性质 判定定理

线线垂直

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理解、深化 理解、深化： P 为什么称为“三垂线”定理？ ⒈为什么称为“三垂线”定理？三种垂直关系: 三种垂直关系 ①线面垂直 ②线射垂直 ③ 线斜垂直 直线PA⊥平面α, 即：直线 ⊥平面 射影AO⊥a,斜线 ⊥a。 射影 ⊥ ,斜线PO⊥α A o

a

⒉这个定理的实质是什么？ 这个定理的实质是什么？ 这个定理的实质是什么三垂线定理实质是空间两条直线垂直的判定，把 实质是空间两条直线垂直的判定，

化为相交垂直 起到“降维” 相交垂直。 空间垂直转化为相交垂直。起到“降维”的作用

。

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3 .如果将定理中“在平面内” 如果将定理中“在平面内” 如果将定理中 的条件去掉，结论仍然成立吗？ 的条件去掉，结论仍然成立吗？例如：当 a⊥α 时， a⊥c 但 a不垂直于b 直线a 在一定要在平面内， 如果 a 不在平面内， α 定理就不成立。a

b c

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四、定理应用例1 如图；PA⊥面ABC,AB是圆O的直径。 C是圆O上的任一点(异于A.B两点).则图中 直角三角形的个数是( ) D A 1个 B 2个 P C 3个 D 4个

A C

B

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思 考三垂线定理解题的关键：找三垂！

怎么找？一找直线和平面垂直 二找平面的斜线在平面 内的射影和平面内的 一条直线垂直 P A O

a

α

注意：由一垂、二垂直接得出第三垂 由一垂、 由一垂 并不是三垂都作为已知条件

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思维发散题组利用三垂线定理证明下列各题： 例2 利用三垂线定理证明下列各题：

(1) PA⊥正方形 所在平面， 为对角线 为对角线BD的中点 ⊥正方形ABCD所在平面，O为对角线 的中点 所在平面 求证： ⊥ , ⊥ 求证：PO⊥BD,PC⊥BD (2) 已知：PA⊥平面 已知： ⊥平面PBC,PB=PC,M是BC的中点， 的中点， , , 是 的中点 求证： ⊥ 求证：BC⊥AM (3) 在正方体AC1中，求证：A1C⊥B1D1,A1C⊥BC1 C⊥ 在正方体AC 求证： C⊥ D1 P P C1

A1 A O B (1) C (2) B D C A M A (3) D

B1 C B

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(1) PA⊥正方形ABCD所在平 的中点， 面，O为对角线BD的中点， 求证： 求证：PO⊥BD,PC⊥BD 证明: 证明 ∵ABCD为正方形 为正方形 O为BD的中点 为 的中点 ∴ AO⊥BD ⊥

P A O B CPO⊥BD ⊥

D

AO是PO在ABCD上的射影 又AO是PO在ABCD上的射影同理， 同理，AC⊥BD

AC是PC在ABCD上的射影 AC是PC在ABCD上的射影

PC⊥BD ⊥

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(2) 已知：PA⊥平面PBC,PB=PC, 已知

: M是BC的中点， 的中点， 求证： 求证：BC⊥AM 证明: 证明 ∵ PB=PC M是BC的中点

P

C A M B BC⊥AM

PM ⊥BC∵PA⊥平面 ⊥平面PBC 在平面PBC上的射影 ∴PM是AM在平面 是 在平面 上的射影

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D1 (3) 在正方体 1中， 在正方体AC 求证： 求证：A1C⊥BC1 , A1C⊥B1D1 ⊥ ⊥ 证明： 在正方体AC 证明： 在正方体 1中 ∵ A1B1⊥面BCC1B1且BC1 ⊥B1C 由三垂线定理知 A1C⊥BC1 ⊥ 同理可证， 同理可证， A1C⊥B1D1 ⊥ B A 在面BCC1B1上的射影 ∴B1C是A1C在面 是 在面 A1 B1 A1 D B B1

C1

C

C1

C

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我们要学会从纷繁的空间图形中找出 或者创造出符合三垂线定理的条件

解 题 反 思A1

P A O A O

a

a

αP P

αC1 C C B A M B

B1

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使用三垂线定理还应注意些什么？

解 题 反 思

三垂线定理是平面的一条斜线与平面内的 直线垂直的判定定理， 这两条直线可以是： ①相交直线 相交直线 ②异面直线 异面直线 P

α

e d c A

O b

a

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五、小

结

三垂线定理： 平面内的一条直线， 三垂线定理：在平面内的一条直线，如果 的一条直线 和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也 这个平面的一条斜线的射影垂直 那么它也 射影垂直， 和这条斜线垂直。 这条斜线垂直 斜线垂直。 1°定理中四条线均针对同一平面而言 应用定理关键是找“基准面” 2°应用定理关键是找“基准面”这个参照系 操作程序分三个步骤——“一垂二射三证” 3°操作程序分三个步骤——“一垂二射三证”

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