分数阶原始对偶去噪模型及其数值算法

第１９卷／第６期／２０１４年６月

义参数Ｌ＝ｌｌ

Ａ

ｌｌ＝ｍａＸ｛ｌｌ触ｌＩ

ｘ∈ｘ，Ｉ｜ｘｌＩ≤

１｝，则当函数Ｆ＋和Ｇ中至少有一个为凸函数时，算法可描述如下：

１）初始化。给定初始步长丁。＞０，盯。＞０，且满足丁。盯。三２≤１。令（ｚｏ，ｙｏ）∈ｘ×ｙ，；ｏ＝ｚｏ。

２）计算

ｙ“”＝（Ｊ＋盯。Ｗ＋）。１（ｙ“＋盯。Ａ

ｉ”）

工“＋１＝（Ｊ＋丁。ＶＧ）一１（ｚ“一Ｊ『。Ａ４ｙ“＋１）

ｐ。＝１／￣／ｌ＋２ｙ丁。，丁。＋ｌ＝咿。下。，盯。＋１＝盯／ｐ。

【ｉ”＋１＝ｚ“＋１＋ｐ。（工“＋１一ｚ”）

（２４）

３）计算原始对偶间隔，定义为

ｆ（ｚ，ｙ）２熘（（ｙ７，舭）一Ｆ＋（Ｊ，７）＋Ｇ（ｚ））一

毋ｉ已（（ｙ，触’）一Ｆ＋（ｙ）＋Ｇ（ｘ’））

（２５）

当该指标满足给定的迭代终止条件时，迭代终

止；否则，令ｎ＝ｎ＋１，转步骤２）。

不难看出，原始对偶间隔是对偶问题和原始问题的目标函数差值。该差值在鞍点处可达到最小¨１１，故以该指标设定阈值，可保证算法收敛到最

优解。

考虑到提出的分数阶原始对偶去噪模型与具有鞍点结构的优化模型在形式上的相似性，并且去噪

模型中保真项Ｇ（比）＝睾ｌｌⅣ一ｇ忙为凸函数，满足

算法的前提条件，故可采用上述数值算法实现图像去噪的优化过程。该算法实现了自适应变步长迭

代，可有效提高寻优效率，弥补了一些传统数值算法对步长要求过高的缺陷。

在数值算法实现中，需要确定预解算子（Ｊ＋

盯即。）～，（Ｊ＋丁ＶＧ）－１和线性算子Ａ。因为Ｆ＋（ｐ）＝６，（ｐ），Ｇ（“）＝｛｝ｌｌ

Ｈ—ｇ

０；，所以

ｐ＝（Ｊ＋盯Ｗ４）。１（Ｆ）甘

ｐ¨：—ｊ！止一

”

（２６）

ｍａｘ（１，ｌ磊．，Ｊ）Ｈ＝（Ｊ＋ｒＶＧ）一１（五）车亭

ｕ驴刍半导ｕ巧２—ｉｊ广

（２７）Ｌ川Ｊ

式中，Ｆ＝ｐ＋Ｄ。Ａ云，五＝比一租＋ｐ，Ａ＝（一１）。ｄｉｖ“。

万方数据

田丹，薛定宇，杨雅婕／分数阶原始对偶去噪模型及其数值算法

下面具体给出求解提出的分数阶原始对偶去噪

模型的算法流程：

１）初始化。给定初始步长％＞０，盯。＞０，且满足

ｒ

令

比

ｐ

∈

Ｙ

×

ｙ

一距

＝Ｈ

肌∞

ｒ汁≤算

ｐ““＝（ｐ８＋盯。Ａ云“）／ｍａｘ（１，Ｉｐ”＋盯。Ａ云“１）

Ⅱ４＋１＝（比“一７－。Ａ＋ｐ“＋：＋丁。Ａｇ）／（１＋ｒ。Ａ）

ｐ。＝１／以而，丁ｎ＋ｌ＝口。下。，盯ｎ十ｌ＝盯。／９。

云川＝Ｈ川＋臼。（比川一Ｈ“）

（２８）

式中，Ａ＝（一１）。ｄｉｖ“。

３）计算原始对偶间隔，定义如下：

ｆ（Ｈ，ｐ）＝啤ａ蕃（（ｐ７，ＡＨ）一Ｆ＋（ｐ’）＋Ｇ（Ⅳ））一

ｍｉ已（（ｐ，ＡＨ’）一Ｆ＋（ｐ）＋Ｇ（Ｍ’））

（２９）

当该指标满足给定的迭代终止条件时，迭代终止；否则，令ｎ＝ｎ＋１，转步骤２）。

下面考虑算法的收敛性问题，文献［１１］中已给出了收敛性证明，但需满足参数￡的定义，故这里求

取参数Ｌ的取值范围。因为

ＩＩ（一１）。ｄｉＶ’旷＝

∑（埘。ｐ；√＋删ｌｐｌｌ√＋…＋伽Ｋ一１ｐ；＋Ｋ—ｌＪ＋

ＩＪ

，

，

’

、’

。ｕｏｐ：，ｊ＋删１ｐ；，，＋１＋…＋ｚｕｘ一１ｐ；，』＋Ｋ一１）。≤

２Ｋ×∑（训。砖）２＋（伽。盛）２＋（加。山。）２＋

ｔ，ｉ

（侧。ｐ；。＋。）２＋…＋（伽Ｋ一。ｐ：＋Ｋ一。，ｊ）２＋（删。一，ｐ：Ｊ＋。一，）２≤

２Ｋ×（加；＋训；＋…＋训；一。）｜｜ｐ｜｜２≤

所以

７￡＝ＩＡ以雨可可葡了＿而

ｌ＝｜｜（一１）“ｄｉｖ“Ｊ｜≤

（３０）

式中，叫ｉ＝（一１）ｉｃ？，Ｋ表示分数阶散度定义中展开

项的项数。

３数值实验与分析

基于预解式的原始对偶算法中，需要计算分数

阶算子Ａ＝（一１）“ｄｉｖ。的伴随算子Ａ＋，如将图像视

为向量，根据线性代数理论，可得出作用于向量时Ａ

的伴随矩阵等于Ａ的转置。为了方便算法的实现，