分数阶原始对偶去噪模型及其数值算法

０髓３

第１９卷／第６期／２０１４年６月０

引言

图像去噪是数字图像处理领域的重要研究课题之一，其主要目的是改善图像质量，便于图像处理后

续工作的进行。目前，该领域的研究热点和难点之一，是图像噪声和边缘均属于图像中的高频信息，如何寻找既能有效消除噪声，又能同时保留图像边缘等细节特征的去噪方法。为了解决这一问题，１９９２年Ｒｕｄｉｎ等人…提出了著名的全变分正则化模型，又称ＲＯＦ模型。该模型通过引入能量函数，将图像去噪问题转化为泛函求极值问题。所采用的函数空

间允许存在跳跃间断，因此可以较好地保持图像的

边缘。然而该模型建立在有界变差（ＢＶ）空问，而ＢＶ空间的函数具有分段平滑特性，所以去噪后易产生“阶梯效应”，即出现分段平滑现象。近年来，综合考虑具有一阶正则项的ＲＯＦ模型易产生“阶梯效应”，而具有高阶正则项的变分模型虽能抑制“阶梯

效应”，但去噪效果不佳的缺点’２圳，一些学者将分

数阶微分理论引入到变分模型中，以解决该新衍生的问题，取得了较好的效果。例如，ｚｈａｎｇ等人¨１提

出了一种分数阶多尺度图像去噪模型，并采用

Ｃｈａｍｂ０１１ｅ的投影算法∞１求解模型。ｚｈａｎｇ等人＂Ｊ提出了一种分数阶变分图像修复模型，并采用梯度

下降算法旧。求解模型。此外，ｃｈｅｎ等人一１提出了一种分数阶ＴＶ．１２图像去噪模型，并采用Ｂｉｏｕｃａｓ的ＭＭ（ｍａｊｏｒｉｚａｔｉｏｎ－ｍｉｎｉｍｉｚａｔｉｏｎ）算法¨叫求解模型。

本文重点研究分数阶变分图像去噪模型的数值计算。研究发现通过对分数阶ＲＯＦ去噪模型作等价

变换可得到一种分数阶原始对偶去噪模型，该模型在

结构上与具有鞍点结构的优化模型形式相近，可建立对应关系，故可采用一种求解鞍点问题的更为灵活且

收敛速度较陕的原始对偶算法¨“求解。针对算法中

定义的参数，结合分数阶梯度算子的性质，给出了其

取值范围，以保证算法的收敛性。实验结果表明，提

出的分数阶原始对偶模型和现有的分数阶去噪模型具

有相同的特眭，即能有效抑制“阶梯效应”，保留更多的

图像细节特征。同时采用的原始对偶算法与一些现有的求解分数阶问题的变分算法相比，收敛速度更快。

１分数阶原始对偶去噪模型的提出

１．１

ＲＯＦ去噪模型

１９９２年，Ｒｕｄｉｎ、０ｓｈｅｒ和Ｆａｔｅｍｉ提出了著名的

万方数据

田丹，薛定字，杨雅婕／分数阶原始对偶去噪模型及其数值算法

全变分正则化模型，又称ＲＯＦ模型，将图像去噪问题建模为优化问题，表示为

鲤｝㈠ⅦｌＩ。＋害忪一ｇｌ㈦

（１）

式中，ｘ表示有限维向量空间，｜｜ 忆表示秽范数，

Ｖ表示梯度算子，Ｈ表示去噪后图像，ｇ表示观测图

像，Ａ表示正则化参数。

模型中第一项称为正则项，在优化过程中起到

抑制噪声的作用。第二项称为保真项，主要作用是保持去噪后图像与观测图像的相似性，从而保持图像的边缘特征。而正则化参数Ａ用于平衡正则项与保真项的作用。

下面给出正则项离散形式的定义。假定待处理

图像的大小为Ｍ×Ⅳ，则变分模型中梯度算子的离

散化形式为

（沌）。＝（（沌）；”（沌）；。）

（２）

式中

ｃ酬。＝≯厂叱。；篡

ｃ蛾。＝皆一蚝。；■

一

则正则项的离散形式可具体定义为

Ｉｌ沌忆＝∑ｌ（沌）ｉ。ｌ

（４）

式中

ｌ（沌）。Ｊ＝￣／（（沌）；。）２＋（（沌）；，，）２（５）

１．２分数阶ＲｏＦ去噪模型

在分数阶微分理论发展过程中，出现了多种函

数的分数阶微分定义。利用其中的Ｇｍｎｗａｌｄ．Ｌｅｔｎｉ—

ｋｏｖ（Ｇ—Ｌ）定义¨２１构造分数阶梯度算子，其离散形式为

（驴Ｈ）ｉ。＝（（△？比）∽（△；Ｈ）。。）

（６）

式中

（△？比）。。＝∑（一１）‘ｃ池吨，（△；比）ｕ＝∑（一１）‘ｃ；Ｍ。一

耻币嚣‰

（７）（８）

式中，Ｋ表示分数阶梯度算子的展开项数，厂（ ）表

示Ｇａｍｍａ函数。

将ＲＯＦ去噪模型的正则项由一阶扩展到分数

阶可得到分数阶ＲＯＦ去噪模型，其离散形式可表示为