分数阶原始对偶去噪模型及其数值算法

中国图象图形学报

ＪｏＵＲＮＡＬ０Ｆ

ＩＭＡＧＥＡＮＤＧＲＡＰＨＩＣＳ

鲤｝（｜１驴Ｈ忆＋害ＩｌＭ—ｇ旺）

（９）

模型中分数阶正则项的离散形式可具体定义为

Ｉ｜驴比ＩＩ。＝∑１（ＰＨ）“ｌ

（１０）

式中

ｌ（驴Ｈ）。ｊ

ｌ＝￣／（（△？Ⅱ）巧）２＋（（△；Ｈ）ｉＪ）２

（１１）

不难看出，一阶梯度算子是由有限项组成的局

域算子，而分数阶梯度算子是由无限项组成的全局算子，故分数阶ＲｏＦ模型较经典的一阶ＲＯＦ模型考虑了更多的图像邻域信息，能保护更多的图像细

节特征。

１．３分数阶原始对偶去噪模型及其与鞍点优化模型的关系

结合分数阶微积分理论和对偶理论，等价变换分数阶ＲＯＦ去噪模型，提出一种分数阶原始对偶去

噪模型。首先给出分数阶散度的定义：定义１对于任意的２维变量ｐ＝（ｐ１，ｐ２）∈ｙ，ｙ表

示有限维向量空间，分数阶散度的离散形式可定

义为

ｄｉｖ’＝（ｄｉｖ肇）“

（１２）

江１，２，…，Ｍ；，＝１，２，…，Ⅳ

式中

（ｄｉｖ’）ｉ√＝（一１）“∑（一１）‘ｃ融幻＋

（一１）“∑（一１）‘ｃ壤ｍ

（１３）

文献［５］中证明了分数阶ＲＯＦ模型中的分数阶

正则项可作如下等价变换，即

｜｜ＦＨＩｌ——————Ｌ

１＝ｓｕｐ（ｐ，驴Ｈ）ｙ＝

ｓｕｐ（（一１）“ｄｉＶ■，比）ｘ

当且仅当慨√＝￣／（ｐ｝，，）２＋（ｐ乙）２≤１（１４）

式中，（ ）表示共轭运算。

依据该特性提出一种分数阶原始对偶去噪模

型，即分数阶ＲＯＦ去噪模型的原始对偶描述，表

示为

ｍｉ望ｍａ圣（（一１）“ｄｉｖ■，Ｈ）ｘ＋Ｈ

ＥＸ口∈ｙ

≤｝ＪＪ比一ｇＩＪ；一６．Ｄ（ｐ）

（１５）

式中，Ｐ＝｛ｐ∈ｙ㈧ｐＩＩ。＝ｍ寻ｘｈ，√≤１｝表示对偶

空间。艿。（ ）是对偶空间中的指示函数，即分数阶正则项的拓扑对偶，表示为

万方数据

６，ｃｐ，＝｛０＋ｏ。：茎：

ｃ，６，

而分数阶ＲＯＦ图像去噪模型对偶描述的推导，可令式（１５）原始对偶模型中对偶变量ｐ固定，对原

始变量Ｈ求导，得

ｇ一半ｄｉｖ肇

（１７）

再代回到式（１５），可得到对偶问题描述，即

鼍１ａ圣（（（一１）“ｄｉｖ》，ｇ）ｙ—

ｐ—Ｖ

一

‘

六Ｉｌ（一１）“ｄｉｖ肇幔一鄙（ｐ））（１８）

厶几

１一

下面分析提出的分数阶原始对偶去噪模型与具有鞍点结构的优化模型在形式上的相似性。具有鞍

点结构的优化问题可描述为‘１１。

ｍｉｎ

ｍａ）【（（Ａｘ，ｙ）＋Ｇ（ｚ）一Ｆ＋（ｙ））

（１９）

式中，ｘ、ｙ表示有限维实向量空问，（ ， ）表示内积，Ａ表示任意线性算子，Ｇ和Ｆ表示任意函数，Ｆ＋

表示Ｆ的拓扑对偶。

将优化模型中变量戈看成原始变量，变量ｙ看成对偶变量，则可将此鞍点问题看成是如下原始问题和对偶问题的原始对偶描述。其中，原始问题可表示为

ｍｉｎ（Ｆ（Ａｚ）＋Ｇ（ｚ））

（２０）

对偶问题可表示为

ｍａ誊一（Ｇ＋（一Ａ＋ｙ）＋Ｆ＋（ｊ，））

（２１）

不难看出，如将原始问题式（２０）与分数阶ＲＯＦ模型建立对应关系，即令Ｆ（Ａ戈）对应分数阶正则项，Ｇ（戈）对应保真项。则提出的分数阶原始对偶去一

噪模型可与鞍点优化模型建立对应关系，即Ａ＝

ｌ

（一１）“ｄｉｖ“，Ｇ（Ｈ）＝｛｝１Ｉ

Ｈ—ｇ

１｜；，Ｆ＋（ｐ）＝６，（ｐ）。

２

分数阶原始对偶数值算法

针对具有鞍点结构的优化问题，文献［１１］中提

出了一种基于预解式的原始对偶数值计算方法。令

原始变量戈固定，对对偶变量ｙ求导，可得到变量ｙ的预解式为

ｙ＝（Ｊ＋ＶＦ＋）一１（ｊ，＋Ａ工）

（２２）

同理，令对偶变量ｙ固定，对原始变量工求导，

可得到变量ｘ的预解式为

ｚ＝（Ｊ＋ＶＧ）一１（ｚ—Ａｙ）

（２３）

式中，Ｗ４和ＶＧ分别对应函数Ｆ＋和Ｇ的梯度。定