高中数学数列放缩专题：用放缩法处理数列和不(2)

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1．放缩后成等比数列，再求和

例2．等比数列

{}n a 中，112a =-，前n 项的和为n S ，且798,,S S S 成等差数列． 设n

n n a a b -=12，数列{}n b 前n 项的和为n T ，证明：13n T <． 解：∵9789A A a a -=+，899A A a -=-，899a a a +=-，∴公比9812a q a ==-． ∴n n a )21(-=． n n n n

n

n b 2

31)2(41)21(141⋅≤--=--=． （利用等比数列前n 项和的模拟公式n n S Aq A =-猜想）

∴n n b b b B ++=2131)211(312

11)211(213123123123122<-=--⋅=⋅++⋅+⋅≤n n ． 真题演练2：(06福建卷理科22题)已知数列

{}n a 满足*111,21().n n a a a n N +==+∈ （I ）求数列

{}n a 的通项公式； （II ）若数列

{}n b 滿足12111*444(1)()n n b b b b n a n N ---=+∈ ，证明：数列{}n b 是等差数列； （Ⅲ）证明：*122311...()232

n n a a a n n n N a a a +-<+++<∈.

（I ）解：*121(),n n a a n N +=+∈

112(1),n n a a +∴+=+{}1n a ∴+是以112a +=为首项，2为公比的等比数列

12.n n a ∴+=即 2*21().n a n N =-∈

（II ）证法一：1211144...4(1).n n k k k k n a ---=+

12(...)42.n n k k k n nk +++-∴=

122[(...)],n n b b b n nb ∴+++-= ①

12112[(...)(1)](1).n n n b b b b n n b ++++++-+=+ ②

②－①，得112(1)(1),n n n b n b nb ++-=+- 即1(1)20,n n n b nb +--+=21(1)20.n n nb n b ++-++=