高中数学数列放缩专题：用放缩法处理数列和不

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用放缩法处理数列和不等问题（教师版）

一．先求和后放缩（主要是先裂项求和，再放缩处理）

例1．正数数列

{}n a 的前n 项的和n S ，满足12+=n n a S ，试求： （1）数列

{}n a 的通项公式； （2）设1

1+=n n n a a b ，数列{}n b 的前n 项的和为n B ，求证：21<n B 解：（1）由已知得2)1(4+=n n a S ，2≥n 时，211)1(4+=--n n a S ，作差得：1212224----+=n n n n n a a a a a ，所

以0)2)((11=--+--n n n n a a a a ，又因为{}n a 为正数数列，所以21=--n n a a ，即{}n a 是公差为2的等差数列，由1211+=a S ，得11=a ，所以12-=n a n

（2）)1

21121(21)12)(12(111+--=+-==+n n n n a a b n n n ，所以 2

1)12(2121)1211215131311(21<+-=+---+-=n n n B n 真题演练1：(06全国1卷理科22题)设数列{}n a 的前n 项的和,1412

2333n n n S a +=-⨯+，1,2,3,n = （Ⅰ）求首项1a 与通项n a ；（Ⅱ）设2n n n T S =，1,2,3,n = ，证明：1

32n i i T =<∑. 解: (Ⅰ)由 S n =43a n －13×2n+1+23, n=1,2,3，… , ① 得 a 1=S 1= 43a 1－13×4+23

所以a 1=2 再由①有 S n －1=43a n －1－13×2n +23

, n=2,3，4,… 将①和②相减得: a n =S n －S n －1= 43(a n －a n －1)－13

×(2n+1－2n ),n=2,3, … 整理得: a n +2n =4(a n －1+2n －1),n=2,3, … , 因而数列{ a n +2n }是首项为a1+2=4,公比为4的等比数列,即 : a n +2n =4×4n －1= 4n , n=1,2,3, …, 因而a n =4n －2n , n=1,2,3, …,

(Ⅱ)将a n =4n －2n 代入①得 S n = 43×(4n －2n )－13×2n+1 + 23 = 13

×(2n+1－1)(2n+1－2) = 23

×(2n+1－1)(2n －1) T n = 2n S n = 32×2n (2n+1－1)(2n －1) = 32×(12n －1 － 12n+1－1

) 所以,

1n i i T =∑= 321(n i =∑12i －1 － 12i+1－1) = 32×(121－1 － 1121n +-) < 32

二．先放缩再求和