高中数学数列放缩专题:用放缩法处理数列和不
时间:2025-07-11
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用放缩法处理数列和不等问题(教师版)
一.先求和后放缩(主要是先裂项求和,再放缩处理)
例1.正数数列
{}n a 的前n 项的和n S ,满足12+=n n a S ,试求: (1)数列
{}n a 的通项公式; (2)设1
1+=n n n a a b ,数列{}n b 的前n 项的和为n B ,求证:21<n B 解:(1)由已知得2)1(4+=n n a S ,2≥n 时,211)1(4+=--n n a S ,作差得:1212224----+=n n n n n a a a a a ,所
以0)2)((11=--+--n n n n a a a a ,又因为{}n a 为正数数列,所以21=--n n a a ,即{}n a 是公差为2的等差数列,由1211+=a S ,得11=a ,所以12-=n a n
(2))1
21121(21)12)(12(111+--=+-==+n n n n a a b n n n ,所以 2
1)12(2121)1211215131311(21<+-=+---+-=n n n B n 真题演练1:(06全国1卷理科22题)设数列{}n a 的前n 项的和,1412
2333n n n S a +=-⨯+,1,2,3,n = (Ⅰ)求首项1a 与通项n a ;(Ⅱ)设2n n n T S =,1,2,3,n = ,证明:1
32n i i T =<∑. 解: (Ⅰ)由 S n =43a n -13×2n+1+23, n=1,2,3,… , ① 得 a 1=S 1= 43a 1-13×4+23
所以a 1=2 再由①有 S n -1=43a n -1-13×2n +23
, n=2,3,4,… 将①和②相减得: a n =S n -S n -1= 43(a n -a n -1)-13
×(2n+1-2n ),n=2,3, … 整理得: a n +2n =4(a n -1+2n -1),n=2,3, … , 因而数列{ a n +2n }是首项为a1+2=4,公比为4的等比数列,即 : a n +2n =4×4n -1= 4n , n=1,2,3, …, 因而a n =4n -2n , n=1,2,3, …,
(Ⅱ)将a n =4n -2n 代入①得 S n = 43×(4n -2n )-13×2n+1 + 23 = 13
×(2n+1-1)(2n+1-2) = 23
×(2n+1-1)(2n -1) T n = 2n S n = 32×2n (2n+1-1)(2n -1) = 32×(12n -1 - 12n+1-1
) 所以,
1n i i T =∑= 321(n i =∑12i -1 - 12i+1-1) = 32×(121-1 - 1121n +-) < 32
二.先放缩再求和
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