华侨大学2009年高等数学竞赛试题(A卷)1(5)

又由条件知f(x)在x c处可导，故f (c) 0． 【1】 由题设知f (x)在[a,c]与[c,b]上可导从而连续, 故由Lagrange中值定理有

f (a) f (c) f (a) f ( 1)(c a),(a 1 c)；

f (b) f (b) f (c) f ( 2)(b c),(c 2 b) ． 【5】

从而

f (a) f (b) f ( 1)(c a) f ( 2)(b c) 2(c a) 2(b c) 2(b a)． 【6】

九、(本题满分6分)

2x

解：由条件知

[

20f(t x)f(t)dt]dx

20

cos4xdx 【1】

2

31 31 cos2x1 2cos2x cos2x42

，(或 2cosxdx 2()dx 2dx 而 2cosxdx

00004221624

4

1 111 33

2(1 2cos2x cos4x)dx ）； 【3】 402242216

2

x

又

[

20

f(t x)f(t)dt]dx f(t x)f(t)dxdt （其中D (x,t)0 x ,x t ）

D

t

20

20

dt f(t x)f(t)dx f(t)dt f(t x)dx f(t)dt f(u)du （令u t x）

20

t

t

20

f(u)du d 0 0

2

tt

1t

f(u)du f(u)du

2 0

2201

2

20

1 f(u)du

2

2

2

f(x)dx 【5】

2

1 3

，故

从而 2f(x)dx

02 16

2

f(x)dx

【6】