华侨大学2009年高等数学竞赛试题(A卷)1(5)
时间:2025-07-11
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又由条件知f(x)在x c处可导,故f (c) 0. 【1】 由题设知f (x)在[a,c]与[c,b]上可导从而连续, 故由Lagrange中值定理有
f (a) f (c) f (a) f ( 1)(c a),(a 1 c);
f (b) f (b) f (c) f ( 2)(b c),(c 2 b) . 【5】
从而
f (a) f (b) f ( 1)(c a) f ( 2)(b c) 2(c a) 2(b c) 2(b a). 【6】
九、(本题满分6分)
2x
解:由条件知
[
20f(t x)f(t)dt]dx
20
cos4xdx 【1】
2
31 31 cos2x1 2cos2x cos2x42
,(或 2cosxdx 2()dx 2dx 而 2cosxdx
00004221624
4
1 111 33
2(1 2cos2x cos4x)dx ); 【3】 402242216
2
x
又
[
20
f(t x)f(t)dt]dx f(t x)f(t)dxdt (其中D (x,t)0 x ,x t )
D
t
20
20
dt f(t x)f(t)dx f(t)dt f(t x)dx f(t)dt f(u)du (令u t x)
20
t
t
20
f(u)du d 0 0
2
tt
1t
f(u)du f(u)du
2 0
2201
2
20
1 f(u)du
2
2
2
f(x)dx 【5】
2
1 3
,故
从而 2f(x)dx
02 16
2
f(x)dx
【6】
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