华侨大学2009年高等数学竞赛试题(A卷)1(2)

x2z22

y 1 上求一切平面，使得该切平面平行于平面四、(本题满分10分) 在曲面 :24

:2x 2y z 5 0，且点P(0,0,2)到该切平面的距离等于点P到原点的距离．

五、(本题满分10分) 计算

22

，其中为有向曲面z x y(0 z 1)，其法(2x z)dydz zdxdy

向量与z轴正向的夹角为锐角．

六、(本题满分12分) 证明不等式：当0 t 1时，2t 1 sin

并由此求数列极限：

1

n

t

2

2；

t 1

lim (1 sin)ndt ． n 2 0

七、(本题满分12分) 设L为一条平面曲线，其上任意一点P(x,y)(x 0)到y轴的距离，恒等于该点处

的切线在y轴上的截距，且L经过点(1,2)． (1) 试求曲线L的方程；

(2) 在L(x e的部分)上求一点, 使得在该点处的切线与两坐标轴所围成的平面图形面积最小． 八、(本题满分6分) 设函数f(x)在闭区间[a,b]上满足f (x) 2，且在开区间(a,b)内取得最小值．

证明：

f (a) f (b) 2(b a)．

九、(本题满分6分) 设函数f(x)在闭区间[0,

]上连续，且在[0,]上满足：

22

2

x

f(t x)f(t)dt cos4x,

求

20

f(x)dx．