华侨大学2009年高等数学竞赛试题(A卷)1(3)

考试时间：2009年6月6日(星期六) 上午8：30—11：00

华侨大学2009年高等数学竞赛试题(A卷)

参考答案与评分标准

一、 填空题（本题共7小题，每小题4分，满分28分）

x x

1e e1、3； 2、 ； 3

、； 4、 4 ； 5、x y(y C)； 6、x y e2； 7．

222 z

2xyf(x2y,exy),【4】 二、(本题满分8分) 解：

x

22 2z

2xf(x2y,exy) 2xy[x2f1 (x2y,exy) x y

222222

x2exyf2 (x2y,exy)] 2xf(x2y,exy) 2yx3f1 (x2y,exy) 2yx3exyf2 (x2y,exy) ．

【8】

三、(本题满分8分) 解：设y 1 x，则

1 1 (1 x) sin( x) 1 y sin( y)11

limlimf(x) lim lim x 1 y 0 ysin( y) x 1 x 1 xsin( x) (1 x) x (1 x)sin( x)

【3】

y sin( y)1 cos( y)1 2sin( y)1

lim lim lim y 0 2y2 y 02 2y y 02 2

1

．

【6】

由于f(x)在[1/2,1)上连续，因此补充定义f(1) 1/ , 就可使f(x)在[1/2,1]上连续． 【8】

四、(本题满分10分) 解：设切点为(x0,y0,z0)，则法向量n (x0,2y0,z0/2)． 【2】

x02y0z0/2 x0 z0 2y0， 22122x0z012

y0 1，解得y0 ,x0 z0 1． 又因为点(x0,y0,z0)在曲面上，所以有

224

1

2x ( ) 2z (， 从而切平面方程为即)

2

2x 2y z ． 【7】

又点P到原点的距离为d 2，点P到切平面2x 2y z 4 0的距离

为

要使得切平面平行于已知平面，应有

(

d |2 0 2 0 2 4| 2．

故

所

2x

【2】 则

由

求切平面

2y z ． 【10】

2

2

为

五、(本题满分10分) 解：取 0为z 1(x y 1)的下侧, 记 为 与 0所围成的闭区域,

Gau公式，有

(2x z)dydz zdxdy (2x z)dydz zdxdy (2 1)dv

0

【5】

3

【8】

2 0

1113

d d 2dz 6 ( 3)d

0 02

．