华侨大学2009年高等数学竞赛试题(A卷)1(4)
时间:2025-07-11
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于是
3
(x zdydz zdxdy 2 0
【10】
x zdydz zdxdy dxdy
Dxy
.2
六、(本题满分12分) 证:(1)显然,当0 t 1时, 有 1 si
t
2
2 【1】.
令f(t) 2t 1 sin加. 【4】 于
是
当
t
2
, 则f (t) 2
2
cos
t
2
0(0 t 1),故f(t)在[0,1]上单调增
0 t 1
时,有
f(t) f(1) 0
, 即
2t 1 sin
t
2
.从而
2t 1 sin
(2)
t
2
2(0 t 1). 【6】
(1)
知
n
n
由
n
,当
0 t 1
时,
(t
从
2
t
2
)s i 【n. ( 1 7】 )
而
2
12n
(tndt 0n 1
,
1
n
t
2
n
dt
n
dt
n
12 tn1
[ (1 sin)dt]n 2. 【10】1/n0(1 n)2
2
而
lim(1 n) 1
n
1
n
由夹逼准则可知
lim[ (1 sin
n
1
t
2
)dt] 2. 【12】
n
七、(本题满分12分) 解:(1)L在点P(x,y)处的切线方程为Y y y (X x),其在y轴上的截距为:y xy .
由题意建立方程:y xy x(x 0), 即:y 解得 y e 由
( )dx1
y 1. 【3】 x
( )dx [ edx C] x( lnx C). 【5】
L过点(1,,得:C 2. 故曲线L的方程为
y 2x xlnx. 【6】
(2)由y 1 lnx得L在点P(x,y)处的切线方程为Y y (1 lnx)(X x),(x e).
yx
x 其在x轴、y轴上的截距分别为:a 、b x.从而所围成图形的面积为
lnx 1lnx 1
1x2S . 【8】
2lnx 1
x2x(2lnx 3) 0,得唯一驻点x e, 又在(e,e)内f(x) 0,在(e, )设f(x) ,由f(x) 2
lnx 1(lnx 1)
内f (x) 0,故f(x) (x在ex e值. 【11】
33
处取得唯一极小值即最小
13
从而点(e,e)即为L(x e部分)上所求点. 【12】
2
八、(本题满分6分) 证: 设f(x)在(a,b)内的最小值为m f(c)(a c b),
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