华侨大学2009年高等数学竞赛试题(A卷)1(4)

于是

3

(x zdydz zdxdy 2 0

【10】

x zdydz zdxdy dxdy

Dxy

．2

六、(本题满分12分) 证：(1)显然，当0 t 1时, 有 1 si

t

2

2 【1】．

令f(t) 2t 1 sin加． 【4】 于

是

当

t

2

, 则f (t) 2

2

cos

t

2

0（0 t 1），故f(t)在[0,1]上单调增

0 t 1

时,有

f(t) f(1) 0

, 即

2t 1 sin

t

2

．从而

2t 1 sin

(2)

t

2

2(0 t 1)． 【6】

(1)

知

n

n

由

n

，当

0 t 1

时，

(t

从

2

t

2

)s i 【n． ( 1 7】 )

而

2

12n

(tndt 0n 1

，

1

n

t

2

n

dt

n

dt

n

12 tn1

[ (1 sin)dt]n 2． 【10】1/n0(1 n)2

2

而

lim(1 n) 1

n

1

n

由夹逼准则可知

lim[ (1 sin

n

1

t

2

)dt] 2． 【12】

n

七、(本题满分12分) 解：(1)L在点P(x,y)处的切线方程为Y y y (X x)，其在y轴上的截距为:y xy ．

由题意建立方程:y xy x(x 0), 即:y 解得 y e 由

( )dx1

y 1． 【3】 x

( )dx [ edx C] x( lnx C)． 【5】

L过点(1,，得：C 2． 故曲线L的方程为

y 2x xlnx． 【6】

(2)由y 1 lnx得L在点P(x,y)处的切线方程为Y y (1 lnx)(X x),(x e)．

yx

x 其在x轴、y轴上的截距分别为:a 、b x．从而所围成图形的面积为

lnx 1lnx 1

1x2S ． 【8】

2lnx 1

x2x(2lnx 3) 0,得唯一驻点x e, 又在(e,e)内f(x) 0，在(e, )设f(x) ,由f(x) 2

lnx 1(lnx 1)

内f (x) 0，故f(x) (x在ex e值． 【11】

33

处取得唯一极小值即最小

13

从而点(e,e)即为L(x e部分)上所求点. 【12】

2

八、(本题满分6分) 证: 设f(x)在(a,b)内的最小值为m f(c)(a c b),