华侨大学2009年高等数学竞赛试题(A卷)1(4)

时间:2025-07-11

于是

3

(x zdydz zdxdy 2 0

【10】

x zdydz zdxdy dxdy

Dxy

.2

六、(本题满分12分) 证:(1)显然,当0 t 1时, 有 1 si

t

2

2 【1】.

令f(t) 2t 1 sin加. 【4】 于

t

2

, 则f (t) 2

2

cos

t

2

0(0 t 1),故f(t)在[0,1]上单调增

0 t 1

时,有

f(t) f(1) 0

, 即

2t 1 sin

t

2

.从而

2t 1 sin

(2)

t

2

2(0 t 1). 【6】

(1)

n

n

n

,当

0 t 1

时,

(t

2

t

2

)s i 【n. ( 1 7】 )

2

12n

(tndt 0n 1

1

n

t

2

n

dt

n

dt

n

12 tn1

[ (1 sin)dt]n 2. 【10】1/n0(1 n)2

2

lim(1 n) 1

n

1

n

由夹逼准则可知

lim[ (1 sin

n

1

t

2

)dt] 2. 【12】

n

七、(本题满分12分) 解:(1)L在点P(x,y)处的切线方程为Y y y (X x),其在y轴上的截距为:y xy .

由题意建立方程:y xy x(x 0), 即:y 解得 y e 由

( )dx1

y 1. 【3】 x

( )dx [ edx C] x( lnx C). 【5】

L过点(1,,得:C 2. 故曲线L的方程为

y 2x xlnx. 【6】

(2)由y 1 lnx得L在点P(x,y)处的切线方程为Y y (1 lnx)(X x),(x e).

yx

x 其在x轴、y轴上的截距分别为:a 、b x.从而所围成图形的面积为

lnx 1lnx 1

1x2S . 【8】

2lnx 1

x2x(2lnx 3) 0,得唯一驻点x e, 又在(e,e)内f(x) 0,在(e, )设f(x) ,由f(x) 2

lnx 1(lnx 1)

内f (x) 0,故f(x) (x在ex e值. 【11】

33

处取得唯一极小值即最小

13

从而点(e,e)即为L(x e部分)上所求点. 【12】

2

八、(本题满分6分) 证: 设f(x)在(a,b)内的最小值为m f(c)(a c b),

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