华南理工大学《高等数学》(下册)期末试题及答案(5)

华南理工大学《高等数学》(下册)期末试题及答案一

解：设点M的坐标为 x,y,z ，则问题即V 8xyz在x y z a 0求最小值。

2

2

2

2

令L 8xyz x2 y2 z2 a2，则由

Lx 8yz 2x 0,Ly 8xz 2y 0,Lz 8xy 2z 0,x2 y2 z2 a2

推出x y z

，M

的坐标为 附加题：（供学习无穷级数的学生作为测试）

( 1)n 1

1．判别级数 是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？

n 1[ln(1 n)] n

解：由于un

11

~, n ，该级数不会绝对收敛，

[ln(1 n)] nn

显然该级数为交错级数且一般项的un单调减少趋于零，从而该级数条件收敛

n2 1n

x的收敛区间及和函数. 2．求幂级数 n

n 02 n!

ann2 12n 1 (n 1)!2 (n 1)

limn lim 解：R lim2n an 2 n!n 12 2

n 1 1n 1 1 n n

n2 1n n 1 1 x 1 x

x 从而收敛区间为 , ， n 2 n!n 1! 2 n 0n! 2 n 0n 1

1 x 1 x 1 x

n 2n 2! 2 n 1n 1! 2 n 0n! 2

n

n

n

n

1 x n 0n! 2

n 2

1 x n 0n! 2

n 1

x

1 x x2x 2

1 e n 0n! 2 42

0,0 a x π

3．将f(x) Hπ，0 x a展成以2π为周期的傅立叶级数.

Hπ, a x 0

解：已知该函数为奇函数，周期延拓后可展开为正弦级数。an 0

bn

2

2H 1 cosna 2H

f x sinnxdx H sinnxdx cosnx

0nn0

2

a

a