华南理工大学《高等数学》(下册)期末试题及答案(2)

华南理工大学《高等数学》(下册)期末试题及答案一

数Z0

3 ； 2

5．设一阶线性非齐次微分方程y P(x)y Q(x)有两个线性无关的解y1,y2，若

y1 y2也是该方程的解，则应有 .

u

u v v x ecosv

三、（本题7分）设由方程组 确定了，是，的函数，求及与. uvxyu

x x y y esinvuu

dx ecosvdu esinvdv

解：方程两边取全微分，则 uu

dy esinvdu ecosvdv

xdx ydy u u

du ecosvdx esinvdy x2 y2

解出du,dv,

dv e usinvdx e ucosvdy xdy ydx x2 y2

从而

ux v y vx

2, , 22222

xx y xx y yx y

四、（本题7分）已知点A(1,1,1)及点B(3,2, 1)，求函数u ln3xy 2z3在点A处沿方向的方向导数.

212 解：AB 2,1, 2 ,AB ,,

333

3y3x 6z2

gradu ,,，graduA 3,3, 6 333

3xy 2z3xy 2z3xy 2z ,, 3,3, 6 2 1 4 7 从而2

411y

edy dxxeydy）.

2yy2

x

x

u

AB 21 332 3

五、（本题8分）计算累次积分

解：依据上下限知，即分区域为

1

dx1

D D1 D2,D1:1 x 2,1 y D2:2 x 4,

2

x

y 2

作图可知，该区域也可以表示为D:1 y 2,y x 2y

从而

2

1

dx1

4122y121yyy

edy dxxedy dy 2edx e2 ey dy

21yy1yy2

xxx