高中数学知识要点重温

高中数学知识要点重温（14）曲线与方程、圆的方程

1．曲线C的方程为:f(x,y)=0 曲线C上任意一点P（x0,y0）的坐标满足方程f(x,y)=0，即f（x0,y0）=0；且以f(x,y)=0的任意一组解（x0,y0）为坐标的点P（x0,y0）在曲线C上。 依据该定义：已知点在曲线上即知点的坐标满足曲线方程；求证点在曲线上也只需证点的坐标满足曲线方程。求动点P(x,y)的轨迹方程即求点P的坐标(x,y)满足的方程（等式）。求动点轨迹方程的步骤：①建系，写（设）出相关点的坐标、线的方程，动点坐标一般设为(x,y)，②分析动点满足的条件，并用等式描述这些条件，③化简，④验证：满足条件的点的坐标都是方程的解，且以方程的解为坐标的点都满足条件。

[举例1] 方程(x y 1)x2 y2 4 0所表示的曲线是： （ ）

A B C D x y 1 022解析：原方程等价于： 2，或x y 4； 2

x y 4

其中当x y 1 0需x y 4有意义，等式才成立，即x y

2

2

2222

4，此时它表示直线

x y 1 0上不在圆x y 4内的部分，这是极易出错的一个环节。选D。

[举例2] 已知点A（－1，0），B（2，0），动点M满足2∠MAB=∠MBA，求点M的轨迹方程。 解析：如何体现动点M满足的条件2∠MAB=∠MBA 是解决本题的关键。用动点M的坐标体现2∠MAB=∠MBA 的最佳载体是直线MA、MB的斜率。

设M（x， y），∠MAB= ，则∠MBA=2 ，它们是直线 MA、MB的倾角还是倾角的补角，与点M在x轴的上方 还是下方有关；以下讨论：

① 若点M在x轴的上方, (00,900),y 0, 此时，直线MA的倾角为 ，MB的倾角为 -2 ，

tan kMA

yx 1

,tan( 2 )

yx 2

, （2 900）

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tan( 2 ) tan2 ,

yx 2

2

1

yx 1

2y

2

,

(x 1)

得： x

2

y

2

3

1，∵MA MB, x 1．

当2 900时, =450， MAB为等腰直角三角形,此时点M的坐标为(2,3)，它满足上述方程．

②当点M在x轴的下方时, y＜０，同理可得点M的轨迹方程为x

2

y

2

3

1(x 1),

③当点M在线段AB上时,也满足2∠MAB=∠MBA,此时y=0(-1＜ｘ＜２)． 综上所求点的轨迹方程为x

2

y

2

3

1(x 1)或y 0( 1 x 2)．

[巩固1]右图的曲线是以原点为圆心，1为半径的圆的一部分， 则它的方程是

A．（x y2）·（y x2）=0 B．（x y2）·（y x2）=0 C．（x y2）·（y x2）=0 D．（x y2）·（y x2）=0

[巩固2]已知点R（-3，0），点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上，且满足RP·PM=0，2PM+3MQ=0，当点P移动时，求M点的轨迹方程。

[迁移]正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点M是棱AB的中点，点P是平面ABCD上的一动点，

且点P到直线A1D1的距离两倍的平方比到点M的距离的平方大4，则点P的轨迹为： A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线

2．圆的标准方程刻画了圆的位置特点（圆心与半径），圆的一般方程反映了圆的代数特点（二元二次方程Ax+By+Cxy+Dx+Ey+F=0 A=B≠0，C=0,且D+E-4AF>0）。判断点P（x0,y0）与⊙M：(x-a)2+(y-b)2= r2的位置关系，用|PM|与r的大小，即：|PM|>r (x0-a)2+(y0-b)2> r2 P在⊙M外；|PM|<r (x0-a)2+(y0-b)2< r2 P在⊙M内；|PM|=r (x0-a)2+(y0-b)2= r2 P在⊙M上。过两个定点A、B的圆,圆心在线段AB的中垂线上。

[举例1]一圆经过A（4，2），B（-1，3）两点，且在两坐标轴上的四个截距之和为2，则圆的方程为 。

解析：研究圆在坐标轴上的截距，宜用一般方程（因为与圆心、半径没有直接联系），设圆的

2

2

2

2

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方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,∵圆过点A、B，∴4D+2E+F+20=0 ①，-D+3E+F+10=0 ②， 圆在x轴上的截距即圆与x轴交点的横坐标，当y=0时，x2+Dx+F=0，x1+x2=-D 圆在y轴上的截距即圆与y轴交点的纵坐标，当x=0时，y+Ey+F=0，y1+y2=-E 由题意知：-D-E=2 ③，解①②③得D=-2，E=0，F=-12。

[举例2]若存在实数k使得直线l：kx-y-k+2=0与圆C：x+2ax+y-a+2=0无公共点，则实数a的取值范围是： 。

解析：本题看似直线远的位置关系问题，其实不然。注意到直线l对任意的实数k恒过定点 M（1，2），要存在实数k使得直线l与⊙C相离，当且仅当M点在圆外；方程x2+2ax+y2-a+2=0 变形为：(x+a)2+y2= a2+a-2, M点在⊙C外 (1+a)2+4>a2+a-2>0，解得：-7<a<-2或a>1. 注：本题中a+a-2>0是极易疏漏的一个潜在要求。

[巩固1]过点A（3，-2），B（2，1）且圆心在直线x-2y-3=0上的圆的方程是 。 [巩固2]已知定点M(x0,y0)在第一象限，过M点的两圆与坐标轴相切，它们的半径分别为r1， r2,则r1r2= 。

[迁移] 关于曲线C:x4 y2 1给出下列说法：①关于直线y 0对称；②关于直线x 0对称；③关于点(0,0)对称；④关于直线y x对称；⑤是封闭图形，面积小于 ；⑥是封闭图形，面积大于 ；则其中正确说法的序号是

3．涉及直线与圆的位置关系的问题，宜用圆心到直线的距离d来研究。d=r（r为圆的半径）

直线与圆相切；过圆x+y=r上一点M(x0,y0)的切线方程为x0x+y0y=r；过圆x+y=r外一点

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