线性代数 期末考试题

( 1) 0, 0 1 1

10 . 2) ( 2) 2 1, 因而A 0

001 ( 3) 3 1,

五、(15分)二次型的矩阵为

1 2 2

A 12 2 . | E A| ( 1)2( 7)，

2 25

222

因而A的全体特征值为 1 2 1, 3 7，二次型的标准形为 g(y1,y2,y3) y1. y2 7y3

下面求正交线性替换矩阵S. A E

有限次初等行变换

1

因而标准正交特征向量组为X1 1 /2,X2

0

2 正交线性替换矩阵为S

2 0

注 属于特征值 1 2 1的特征向量组

1 2 2 1 1

( 2, 1) , 0 正交化 0 1 1 .

1 1 , 211221 ( 1, 1)

0 1 1 0 1

六、(5=3+2分)

1)|E A|

11 2

，

O 1 1

1 /3,X3 1 /6， 1 2 6 . 6 6

a11 a12 a1n

00 0

a211 a22 a2nr1 r2 rn a211 a22 a2n

0，

an1 an2 1 ann

因而1是A的特征值.

2)AX0 0，即

an1

an2 1 ann

a11c1 a12c2 a1ncn 0, ac ac ac 0, 2112222nn

, an1c1 an2c2 anncn 0,

n个等式相加得

c1 c2 cn 0.