线性代数B模拟试卷一一、(15分)填空题： 1 2 3 1.设 A 4 5 6 , 则|A|= 1 1 0

, A*=

,A-1=

.

2.设4维向量α =(1,2,0,-3)T, β =(2,-1,5,0)T,则α 与β 的 内积(α ,β )= , 夹角<α ,β >= ax1 2 x 2 3 x3 x 4 0 3.齐次线性方程组 x1 2 x 2 4 x3 x 4 0 2 x1 x 2 5 x3 2 x 4 0 x1 x 2 x3 x 4 0 .

.

有非零解，则a=

.

4.设矩阵

1 2 3 A 4 5 6

1 2 2 B 4 5 10 .关.

初等矩阵P满足：AP=B,则P=

5. α 1,α 2,α 3,α 4均为3维向量，则向量组α 1,α 2,α 3,α 4必线性

二、(15分)选择题：a1 x1 a2 x2 b2 y 2 c2 z 2x1 x2 y2 z2x1

a3 x3 b3 y 3 ,则( c3 z 3

1.设3阶行列式 D b1 y1 c1 z1a1 a2 b2 c2 a3

).

x3 y3 z3a2 x2 b2 y 2 c2 z 2 a 3 x3 b3 y 3 c3 z 3

(A)

D b1 c1a1

b3 y1 c3 z1a 3 x3

a2 x2 b2 y 2 c2 z 2

(B)

D b1 c1

b3 y 3 y1 c3 z 3 z1

a1

a2 b2 c2

x3

a1

x2 y2 z2

a3

x1

a2 b2 c2

a3 b3 c3

(C)

D b1 c1

.

y 3 b1 z 3 c1

b3 y1 c3 z1

2.设矩阵A的秩R(A)=r,则( ). (A)A中只有一个r阶子式不为零，其余的r阶子式全为零； (B) A中存在一个r阶子式不为零，其余的r+1阶子式(若有)全为零； (C) A中所有的r阶子式均不为零，而高阶子式全为零. ax1 x 2 x3 1 3. 设线性方程组 x1 ax2 x3 a 有唯一解，则( ). x x ax a 2 2 3 1 (A)a=1;(B)a=-2;(C)a≠1且a≠-2. 4.设 向量组α 1,α 2,…,α s线性相关，则( ). (A) α 1一定可由α 2,α 3,…,α s线性表示； (B) α 1一定不可由α 2,α 3,…,α s线性表示； (C) 其中至少有一个向量可由其余s-1个向量线性表示. 5.n阶方阵A与对角阵相似，则( ). (A)A有n个不同的特征值；(B) A有n个相同的特征值；(C) A有n 个线性无关的特征向量.

三、(14分)设n维向量αT=(1/2,0,…,0,1/2),又A=E-ααT, B=E+2ααT,其中E 为n阶单位矩阵，求AB,A-1,B-1,并写出A-1与B-1的具体形式.

四、(16分)设向量组α 1=(1,2,3,4)T, α 2=(2,3,4,5)T, α 3=(3,4,5,6)T, α 4=(4,5,6,7)T,求该向量组的秩及一个最大无关组，并将其余向量表示成 最大无关组的线性组合. 2 x1 x 2 5 x3 4 x 4 6 五、(14分)求非线性方程组 x1 2 x 2 3 x3 5 x 4 8 4 x 3 x x 6 x 22 2 3 4 1

的通解.

六、(18分)矩阵A=

2 0 0 0 3 2 0 2 3

1.求A的特征值与特征向量； 2. 求正交矩阵Q,使QTAQ =Λ. 七、(8分)证明：若为A正交矩阵，则A的伴随矩阵A*也为正交矩阵.

B模拟试卷二一、(15分)填空题： 1.在4阶行列式det[aij]中，含有因子a11a32的项有： 1 3 2.设

矩阵 A 0 1 2 1

.

,AT为A的转置矩阵，则 ，ATA= 的秩= .

矩阵乘积AAT= 3. 矩阵 1 0 3 2 A 1 1 0 0 0 0 0 0

. , 则A-1= .

O B 4.设B,C为可逆矩阵，分块矩阵 A C O

5. 用矩阵形式表示二次型f=x12+x1x2+2x22+3x32-2x2x3,f=

.

二、(15分)选择题：

1.设α =(1,2,3)T, β =(1,1/2,1/3)T,A=α β T,则A10=(

).

1 1 1 210 310 1 1/ 2 1/ 3 2 10 9 (A)310; (B) 3 2 1 2 / 3 ;(C) 210 1 ( ) 3 3 3/ 2 1 3 10 10 3 ( ) 1 2 x1 x 2 x3 1 .2.设线性方程组 2 x1 (a 2) x 2 (b 2) x3 3 有无穷多组解，则( 3ax (a 2b) x 3 2 3 (A)a=b≠0;(B) a≠0且a≠b;(C)a=b=0.

).

3. 向量组α 1,α 2,…,α s线性无关的充要条件为( ). (A) α 1不能由α 2,α 3,…,α s线性表示；(B)α 1,α 2,…,α s的秩小于s; (C) α 1,α 2,…,α s的秩等于s. 1 A 3 a b 1 3

4.设

为正交矩阵，则(

).

(A)a=

2 , 3

b=

2 2 ; ; (B) a=b= 3 3

(C) a=b=0.

1 0 0 0 2 0 , 5.设3阶方阵A与对角阵 相似，则( 0 0 3

).

(A)A-1有特征值1,2,-3;(B) A+E有特征值2,3,-2;(C) A2有特征向量1,2,-3

1 5 三、(18分)设矩阵 A 3 1

2 1 1 0

0 2 0 0

1 0 ,试求1.|A|;2.A-1;3.|A4|. 0 0

2 x1 x 2 5 x3 4 x 4 6 四、(16分)求非齐次线性方程组 x1 2 x 2 3 x3 5 x 4 8 的通解. 4 x 3 x x 6 x 22 2 3 4 1五、(16分)设向量组α 1=(1,2,3,4)T, α 2=(-1,1,-1,0)T, α 3=(2,-1,3,1)T, α 4=(0,3,2,4)T,求该向量组的秩及一个最大无关组， 并将其余向量表示成最大无关组的线性组合.

2 0 0 六、(20分)设对称矩阵A= 0 1 2 0 2 1 1.求A的特征值与特征向量；2.求一个正交矩阵Q和对角阵Λ ,使得Q-1AQ=Λ .

B模拟试卷三一、(15分)填空题： 1.设n阶方阵A的行列式|A|=2,则A的伴随阵的行列式|A*|= 1 2 3 1 2 1 2.设矩阵 A 1 1 0 , B 1 1 1 , 1 1 1 1 1 0 ,

.

矩阵X满足： AX=B,则X=

.

x1 2 x2 1x3 1 3. 设ξ 1=(2,0,-1)T, ξ 2=(1,0,0)T为线性方程组 2 x1 x2 2 x3 2 ax bx cx 5 2 3 1的两个解向量，则方程的通解为 . 关.

4. 向量组α 1=(1,2,-3)T, α 2=(-2,1, 0)T, α 3=(0,5,-6)T,线性

5. 设n阶方阵A与B相似，A有特征值1,2,-3,则 B-1+E有特征值

.

二、(15分)多项选择题： 1.设A,B均为n阶可逆方阵,则( ). (A)齐次线性方程组ABX=0只有零解; (B)(A+B)-1=A-1+B-1; (C) A的特征值全不为零. 2.设A,B均为n (n≠1)阶矩阵

则( ). (A)(AB)T=ATBT;(B)|AB|=|A||B|;(C)|2A|=2|A|. 3.设 λ 为n阶可逆矩阵A的特征值，则( ). (A)1/λ 为A-1的特征值；(B) λ 2为A2的特征值； (C)φ (λ ) 为φ (A)的特征值,其中φ (x) 为x的多项式.

4.n阶行列式

a b ... b

b a ... b

... ... ... ...

b b 的值为( ... a

).

(A)(a+nb)(a-b)n-1;(B) (a-b)n+nb(a-b)n-1;(C)[a+(n-1)b](a-b)n-1. 5.设α 1=(1,-2,5)T, α 2=(-2,4,-10)T,则( ). (A)(α 1,α 2)=-60;(B) α 1 与α 2正交；(C) α 1,α 2线性相关.

2 x1 x 2 x3 x 4 1 三、(10分)求非齐次线性方程组 4 x1 2 x 2 2 x3 x 4 2 的通解. 5 x x 3x 2 x 0 2 3 4 1四、(10分)求向量组α1=(1,1,2,3)T, α2=(1,-1, 1,1)T, α3=(1,3,3,5)T, α4=(4,4,8,12)T,的秩及一个最大无关组，并将其余向量表示成最大无关组的线 性组合. ax x x 41 2 3

五、(15分)问a,b为何值时，线性方程组 x1 bx2 x3 3 x 2bx x 4 2 3 1有唯一解？有无穷多组解？无解？ 1 2 0 六、(20分)设对称矩阵A= 2 2 0 0 0 1

1.求A的特征值与全部特征向量；2.求一个正交矩阵Q和对角阵Λ,使得Q-1AQ=Λ.

七、证明题： 1.(7分)设A,B均为n阶正交矩阵，试证A-1B也是正交矩阵.