12345

第四讲 平面几何部分

2. 掌握五大面积模型的各种变形 知识点拨

一、等积模型

①等底等高的两个三角形面积相等；

②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如右图S1:S2 a:b

③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图S△ACD

A

S1B

S2CD

S△BCD；

反之，如果S△ACD S△BCD，则可知直线AB平行于CD．

④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；

⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比． 二、鸟头定理

两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．

如图在△ABC中，D,E分别是AB,AC上的点如图 ⑴(或D在BA的延长线上，E在AC上)，

S△ABC:S△ADE (AB AC):(AD AE) 则

A

A

D

D

E

E

B

C

BC

图⑴ 图⑵

三、蝴蝶定理

任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：

①S1:S2 S4:S3或者S1 S3 S2 S4②AO:OC S1 S2 : S4 S3 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系． 梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)： ①S1:S3 a2:b2

②S1:S3:S2:S4 a2:b2:ab:ab； ③S的对应份数为 a b ．

2

D

AS2

B

S1S3

C

S4

AS2

aS1S3

S4

D

B

b

C