二．由差型，商型类比出来的和型，积型：

即an an 1 f(n),和an an 1 g(n)

例如：数列 an 中相邻两项an，an 1是方程x2 3nx bn 0的两根，已知a10 17，求b51的值．

分析： 由题意：an+an 1 3n ②—①：an 2 an 3．

所以该数列的所有的奇数项成等差，所有的偶数项也成等差．

其基本思路是，生成，相减；与“差型”的生成，相加的思路刚好相呼应．到这里本题的解决就不在话下了．

特别的，若an+an 1 c，则an 2 an．

即该数列的所有的奇数项均相等，所有的偶数项也相等． 若 an an 1 2n ① 则 an 1 an 2 2n 1 ② ②÷①：

an 2an

2．

①

②

生成： an 1+an 2 3(n 1)

所以该数列的所有的奇数项成等比，所有的偶数项也成等比．

其基本思路是，生成，相除；与“商型”的生成，相乘的思路刚好相呼应． 特别地，若an an 1 c，则an 2 an．

即该数列的所有的奇数项均相等，所有的偶数项也相等．

三．可以一次变形后转化为差型，商型的

1．an pan 1 f(n)

n 1

例如：设a0是常数，且an 2an 1 3，（n N*）．

证明：an ( 2)

n 1

5

分析：这道题目是证明型的，最简单的方法当然要数数学归纳法，现在我们考虑用推导的方

n 1

法来处理an 2an 1 3的三种方法：

n

方法（1）：构造公比为—2的等比数列 an 3 ，用待定系数法可知

a0

3 ( 1)

nn 1

2

n

．

15

．

an n方法（2）：构造差型数列 ，即两边同时除以( 2) 得：n

( 2) an( 2)

n

an 1( 2)

n 1

13

(

32

)，从而可以用累加的方法处理．

n

方法（3）：直接用迭代的方法处理：

an 2an 1 3

23

n 1

2( 2an 2 3

n 3

n 2

) 3

n 1

n 1

( 2)an 2 ( 2)3

2n 2

3

n 1

( 2)( 2an 3 3

n

) ( 2)3

2n 2

3

3 ( 2)3

2

2

n 3

n 3

n 2

n 1

( 2)an 3 ( 2)3 ( 2)a0 ( 2)

n

n 1

2n 30

( 2)3

n 2

n 21

3

n 1

3 ( 2)

n 1

3 ( 2) ( 2)3 3

( 2)a0

n

3 ( 1)

5

2

n

．