第七章 二次函数

考点一、二次函数的概念和图像 （3~8分） 1、二次函数的概念

一般地，如果y ax2 bx c(a,b,c是常数，a 0)，那么y叫做x 的二次函数。

y ax2 bx c(a,b,c是常数，a 0)叫做二次函数的一般式。

2、二次函数的图像

二次函数的图像是一条关于x

b

对称的曲线，这条曲线叫抛物线。 2a

抛物线的主要特征：

①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。 3、二次函数图像的画法 五点法：

（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴

（2）求抛物线y ax bx c与坐标轴的交点：

当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A,B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C的对称点D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。

当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D。由C、M、D三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A、B，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。 考点二、二次函数的解析式 （10~16分）

二次函数的解析式有三种形式：

（1）一般式：y ax bx c(a,b,c是常数，a 0) （2）顶点式：y a(x h) k(a,h,k是常数，a 0)

2

（3）当抛物线y ax bx c与x轴有交点时，即对应二次好方程ax bx c 0有实根

2

2

2

2

4、反比例函数解析式的确定

k

确定及诶是的方法仍是待定系数法。由于在反比例函数y 中，只有一个待定系数，因此

x

只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式。

5、反比例函数中反比例系数的几何意义

x1和x2存在时，根据二次三项式的分解因式ax2 bx c a(x x1)(x x2)，二次函数y ax2 bx c可转化为两根式y a(x x1)(x x2)。如果没有交点，则不能这样表示。

考点三、二次函数的最值 （10分）

如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当x 时，y最值

k

(k 0)图像上任一点P作x轴、y轴的垂线PM，PN，则所得x

的矩形PMON的面积S=PM PN=y x xy。

如下图，过反比例函数y

b2a

4ac b2 。

4a

b

是否在自变量取值范围2a

y

k

, xy k,S k。 x

如果自变量的取值范围是x1 x x2，那么，首先要看

b4ac b2

x1 x x2内，若在此范围内，则当x= 时，y最值 ；若不在此范围内，则需要考

2a4a

虑函数在x1 x x2范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x x2时，

2

y ax2 bx2 c，当x x1时，y ax12 bx1 c；如果在此范围内，y随x的增大而减

最大最小小，则当x xy2x x21时，最大 ax1 bx1 c，当2时，y最小 ax2 bx2 c。

考点四、二次函数的性质 （6~14分）

2、二次函数y ax2 bx c(a,b,c是常数，a 0)中，a、b、c的含义： a表示开口方向：a>0时，抛物线开口向上 a<0时，抛物线开口向下

b与对称轴有关：对称轴为

x=

b2a

c表示抛物线与y轴的交点坐标：

（0，c） 3、二次函数与一元二次方程的关系

一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标。

因此一元二次方程中的 b2

4ac，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点。 当 >0时，图像与x轴有两个交点； 当 =0时，图像与x轴有一个交点； 当 <0时，图像与x轴没有交点。 补充：

1、两点间距离公式（当遇到没有思路的题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法） 如图：点A坐标为（x1，y1）点B则AB间的距离，即线段AB

2、函数平移规律（中考试题中，只占3分，但掌握这个知识点，对提高答题速度有很大帮助，可以大大节省做题的时间）

左加右减、上加下减