所以矩阵M的属于特征值3的一个特征向量为 .

2．解：直线l的普通方程为：x y 3 0，设椭圆C上的点到直线l距离为d.

1 1

sin( ) 6

|cos sin 3| d

22

∴当sin( ) 1时，dmax 26，当sin( ) 1时，dmin .

44

3．解：（1）以AB,AC,AA1分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系A xyz，则

11

( ,, 1)，

22

平

面

ABC

的

一

个

法

向

量

为

n (0,0,1)

则

sin cos PN,n

11 5

2 4

2

（*）

于是问题转化为二次函数求最值，而 [0,时，

2

],当 最大时，sin 最大，所以当

1

2

(sin )max

25

. 5

（3）已知给出了平面PMN与平面ABC所成的二面角为45，即可得到平面ABC的一个法向量为

1

n AA1 (0,0,1)，设平面PMN的一个法向量为m (x,y,z)，MP ( , 1,).

2

2 111

y x( )x y z 0 0 322

由 得 ，解得 .

1 z 2(1 )x m MP 0 x y z 0

23

令x 3,得m (3,2 1,2(1 ))这样m和n就表示出来了，于是由

2(1 )9 (2 1) 4(1 )

2

2

cos m,n

2

2

，解得