2013高考数学解答题审题方法探究6(2)

抢分秘诀,用导数研究函数单调性、极值与最值是历年必考内容，尤其是含参数函数的单调性问题成为高考命题的热点，近几年新课标高考卷中发现：若该内容的题目放在试卷压轴题的位置上，试题难度较大；若放在试卷前几题的位置上，难度不大.

【例10】 (2012·湖南)已知函数f(x)＝ex－ax，其中a＞0.

(1)若对一切x∈R，f(x)≥1恒成立，求a的取值集合；

(2)在函数f(x)的图象上取定两点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))(x1＜x2)，记直线AB的斜率为k，证明：存在x0∈(x1，x2)，使f′(x0)＝k成立．

[审题路线图]

(1)将f(x)≥1恒成立转化为f(x)的最小值f(x)min≥1.

利用导数f(x)的最小值的表达式．

即f(x)min＝f(ln a)＝a－aln a.

构造g(t)＝t－tln t(t＞0)．

再利用导数判断g(t)的单调性．

可得当t＝1时，g(t)max＝g(1)＝1，即可得a值．

(2)首先利用斜率公式表示斜率k，

构造函数φ(x)＝f′(x)－k.

利用导数判断φ(x)在(x1，x2)端点的函数值φ(x1)、φ(x2)一正一负．

根据零点判定定理知存在x0∈(x1，x2)，使φ(x0)＝0，即f′(x0)＝k成立．

[规范解答] (1)f′(x)＝ex－a，令f′(x)＝0得x＝ln a.

当x＜ln a时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x＞ln a时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，故当x＝ln a时，f(x)取最小值f(ln a)＝a－aln a.

于是对一切x∈R，f(x)≥1恒成立，当且仅当a－aln a≥1.①

令g(t)＝t－tln t，则g′(t)＝－ln t.

当0＜t＜1时，g′(t)＞0，g(t)单调递增；当t＞1时，g′(t)＜0，g(t)单调递减． 故当t＝1时，g(t)取最大值g(1)＝1.因此，当且仅当a＝1时，①式成立．

综上所述，a的取值集合为{1}．(5分)

f x2 －f x1 ex2－ex1(2)由题意知，k＝a， x2－x1x2－x1

ex2－ex1令φ(x)＝f′(x)－k＝ex－ x2－x1

exφ(x1)[ex－x－(x2－x1)－1]， x2－x121

exφ(x2)[ex－x－(x1－x2)－1]． x2－x112

令F(t)＝et－t－1，则F′(t)＝et－1.