2013高考数学解答题审题方法探究6

导数问题

主要题型：(1)利用导数研究函数的单调性、极值与最值问题；(2)利用导数研究不等式恒成立与证明等问题；(3)以函数为载体的建模问题．

11【例9】 (2011·江西)设f(x)＝－x3＋x2＋2ax. 32

2 (1)若f(x)在 3 上存在单调递增区间，求a的取值范围；

16(2)当0＜a＜2时，f(x)在[1,4]上的最小值为－f(x)在该区间上的最大值． 3

[审题路线图]

21，＋∞ 上存在单调递增区间，函数f(x)的导数是二次函数，对称轴为x要使f(x)在 3 2

2必需满足f′ 3＞0；

令f′(x) ＝0得x1，x2，确定x1，x2所在的单调区间，根据单调性求f(x)的最值．

[规范解答](1)由f′(x)＝－x2＋x＋2a

11x－2＋2a，(2分) ＝－ 24

222∞ 时，f′(x)的最大值为f′ ＝＋2a. 当x∈ 3 39

21令＋2a＞0，得a.(5分) 99

21∞ 上存在单调递增区间．(6分) 所以，当a＞－f(x)在 3 9

21∞ 上存在单调递增区间时，a的取值范围为 －∞ . 即f(x)在 3 9

(2)令f′(x)＝0，得两根x1＝

11＋8ax2＝. 2

所以f(x)在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上单调递减，在(x1，x2)上单调递增．(8分)

当0＜a＜2时，有x1＜1＜x2＜4，

所以f(x)在[1,4]上的最大值为f(x2)，

27又f(4)－f(1)＝－6a＜0，即f(4)＜f(1)．(10分) 2

4016所以f(x)在[1,4]上的最小值为f(4)＝8a－＝－. 33

10得a＝1，x2＝2，从而f(x)在[1,4]上的最大值为f(2)＝. 3

(12分) 1－1＋8a， 2