线性代数试卷2009答案(2)

线性代数期末考试试卷

1 3A 0 5

121411231123

1 1

0 3 6 0 1 0

1 11 11 22 21 2 2 2

1 1

0 6 6 0 6 0

1 1001 2001 200

1 6 0 0

取x3，x4，x5为自由未知量，分别为（1，0，0）、（0，1，0）、（0，0，1）

y1 (1, 2,1,0,0)y2 (1, 2,0,1,0) y3 (5, 6,0,0,1)

全部解：k1y1 k2y2 k3y3（k1，k2，k3为任意常数） 评分标准：（1）求系数矩阵得2分； （2）把矩阵转换成阶梯阵得6分； （3）求基础解系得4分； （4）求通解得1分； （5）矩阵符号错扣4分。

3、解：对方程组的增广矩阵作初等行变换，把它们化为阶梯形矩阵。

103

1 30

[A,b]

217 4214

12 103

1 1 0 3 3

25 011

06 2 02

12 1

0 3 0

01 0

4 2 0

0312 1

1101 0

0000 0

0011 0

0312

1101

0011

0000

r(A,b) r(A) n,所以有无穷多解。

先求AX=b的一个特解，令x3为自由未知量，并令x3=0代入UX=b得X0=(1，1，0，1)T，再求UX=0的通解，令x3=1代入UX=0得基础解系X1=(-3，-1，1，0)。

所以方程组的解为X=(1，1，0，1)T+K(-3，-1，1，0)T (K为任意常数) 评分标准：（1）增广矩阵化为阶梯矩阵得7分； （2）求出特解占2分； （3）求出基础解系占2分； （4）最后结果占2分。

4.解：（1）求A的特征值和特征向量

1

I A 3

6

3 3 10 3 10 3

5

6 3 3

4 6

3

2 3 ( 2) 3

2 4 61 3

1 4

10

( 2) 3

3

1 3

1 3 ( 2) ( 2)( 1)2 9

3 0