知识回顾：对于确定信号的傅立叶变换的回顾：设X(t)是时间t的非周期实函数，则X(t)存在傅立叶变换的充要条件是： (1)X(t)在 ( -∞,+∞ )满足狄利赫利条件； (2)X(t)绝对可积,即∫ X(t)dt<∞ ∞+∞

(3)若X(t)代表信号，则总能量有限,即∫ X(t) dt<∞2 ∞

+∞

此时，x(t)的傅立叶变换为： Fx (ω )=∫+∞ ∞

x(t )e jωt dt

傅立叶反变换为： 1+∞ jωt ( ) x(t )= Fω e dω x∫ ∞ 2π

非周期性确定性时间函数的帕塞伐(Parseval)等式为:1[ x(t )] dt=∫ 2π ∞2∞∞ ∞

∫

Fx (ω ) dω

2

其中,

F x (ω )+∞

2

称为能谱密度。+∞+∞

证明:1 jωt x t dt= x t Fω e dω]dt ( ) ( )[ ( )[] x∫∫∫π 2 ∞ ∞ ∞2

1 jωt=∫ Fx (ω )[ x t e dt]dω ( )∫ 2π ∞ ∞ 1= 2π+∞

+∞

+∞

1 F F d=ωωω ( ) ( ) x x∫ 2π ∞________

+∞

∞

∫

Fx (ω ) dω

2

7.1功率谱密度的定义数学推导基本步骤如下:设 X ( t )是均方连续的随机过程，作截尾随机过程 X T ( t ): X ( t ), t≤ T X T (t )= t>T 0, Fx (ω, T )为 X T ( t )的傅立叶变换，由帕塞伐公式以及傅立叶反变换，得到

∫

T T

1 X ( t ) dt= 2π2

∫

∞ ∞

F x (ω, T ) dω

2

(帕塞伐公式)

对上式两边先取时间平均，再取统计平均得到：2 1 T X (t ) dt]左边= E[lim∫ T T→∞ 2T 2 1 T= limE[∫ X (t ) dt] 2T T T→∞

1 1∞ 2右边= E lim[∫ Fx (ω, T )]dω ∞ T→∞ 2T 2π 1 1∞ 2 E F T[ (, )]dω=ω x l i m∫ ∞ 2π T→∞ 2T 1∞ 1 2 E F T[ (, )]dωω= x l i m∫ ∞ 2π T→∞ 2T

功率谱密度的定义:设{X(t),-∞<t<∞}为均方连续的随机过程，2 1 T称ψ=limE[∫ X (t ) dt]为X(t)的平均功率； 2T T T→∞ 1 2称S X (ω )= lim E[ Fx (ω, T )]为X(t)的功率谱密度， T→∞ 2T简称谱密度。 2

对于平稳随机过程，平均功率等于该过程的均方值,等于它的谱密度在频域上的积分。即： 1ψ= E[ X (t )]= 2π2 2

∫

∞

∞

S X (ω )dω

7.2功率谱密度的性质(1) Sx (ω )≥ 0 (2) Sx (ω )是ω的实函数。 (3)对实随机过程，Sx (ω )= Sx ( ω ) (4)可积性，即∫ Sx (ω )dω<∞-∞∞

证明：(1)(2)(3)S X (ω )= lim 1 2 E[ Fx (ω, T )] T→∞ 2T 2+T

1 jωt= lim E[∫ X (t )e dt] T T→∞ 2T+T+T 1 jωt1= lim E[∫ X (t1 )e dt1∫ X (t2 )e jωt2 dt2] T T T→∞ 2T

例题7-1:平稳随机过程X (t )的谱密度为：

ω2+ 4 S x (ω )= 4, 2ω+ 10ω+ 9求平均功率E[ X 2 (t )].

解：

1∞Ψ= E[ X (t )]= S X (ω )dω∫ ∞ 2πω2+ 4 1∞= dω 4∫ ∞ 2πω+ 10ω+ 92 2

上半平面极点为 w1= j, w2= 3j:∞ω2+ 4ω2+ 4∫ ∞ω 4+ 10ω+ 9 dw=∫ ∞ (ω j )(ω+ j )(ω 3 j )(ω+ 3 j ) dω∞

ω2+ 4ω2+ 4= 2π j{|ω= j}+ 2π j{|ω=3 j} (ω+ j )(ω 3 j )(ω+ 3 j ) (ω j )(ω+ j )(ω+ 3 j )7=π 12

所以:

1Ψ= 2π2

ω2+ 4 7∫ ∞ω 4+ 10ω+ 9 dω= 24∞

7.3功率谱密度与自相关函数的关系可以证明：随机过程的自相关函数与功率谱密度之间互为傅立叶变换对。这一个关系就是著名的维纳-辛钦定理。即：S X (ω ) X(t)是均方连续的平稳过程， RX (τ )是它的相关函数，

为它的功率谱密度，如果S X (ω )=∞

∞

∞

∫

RX (τ ) dτ<∞

,则有：

∞

∫

RX (τ )e jωτ dτ∞

1 RX (τ )= 2π

∞

∫

S X (ω )e jωτ dω

证明：

S X (ω )= limT→∞

1 2 E[ Fx (ω, T )] 2T

+T+T 1 jωt1 E[∫ X (t1 )e dt1.∫ X (t2 )e jωt2 dt2]=lim T T T→∞ 2T+T+T 1 E[∫∫ X (t1 ) X (t2 )e jω ( t2 t1 ) dt1dt2]=lim T T T→∞ 2T 1+T+T jω ( t2 t1 ) E X t X t e dt1dt2=lim[ ( ) ( )] 1 2∫∫ T T T→∞ 2T

令t= t1+ t2,τ= t2 t1,则 S X (ω )= lim+∞+2 T T→∞ 2 T

∫

(1

τ2T

)Rx (τ )e jωτ dτ

=

∞

∫

Rx (τ )e jωτ dτ

当随机过程为实平稳随机过程时：S X (ω )= 2∫ RX (τ ) cosωτ dτ∞

证明：S X (ω )=∞∞

0

∞

∫

RX (τ )e jωτ dτ=∞

∞

∞

∫R

X

(τ )(cosωτ j sinωτ )dτ

=

∞

∫R

X

(τ ) cosωτ dτ= 2∫ RX (τ ) cosωτ dτ0

同理：

RX (τ )=

S∫π0

1

∞

X

(ω ) cosωτ dω

例题7-2:解:

平稳随机过程 X ( t )= A cos(ω 0 t+θ ),其中 A,ω 0 2π )上均匀分布，求 X为常数，θ在(0, ( t )的功率谱密度。 R X (τ )= E{[ A cos(ω 0 t+θ ) A cos[ω 0 (t+τ )+θ]}=∫0 2π

1 A co s(ω 0 t+θ ) A cos[ω 0 (t+τ )+θ] dθ 2π

A2= cosω 0τ 2+∞ A2 S X (ω )=∫ cosω 0τ .e jωτ dτ 2 ∞ A2= 4= 2+∞ ∞

∫

( e jω0τ+ e jω0τ ) e jωτ dτ

π A2

[δ (ω ω 0 )+δ (ω+ω 0 )]

已知： e jω0τ 2πδ (ω ω 0 )

ω2+ 4例题7-3:平稳随机过程谱密度S X ( w)= 4, 2ω+ 10ω+ 9求平稳随机过程的相关函数和均方值。

解:方法1:利用常用的傅立叶变换对

5 3ω2+ 4 8 8 SX (ω )= 2=+ (ω+ 9)(ω 2+ 1) (ω 2+ 9) (ω 2+ 1) 5 3 2× 3× 2× 1× 5 3|τ| 3 |τ| 48 16 e+ e=+ 2 2 (ω

+ 9) (ω+ 1) 48 16 2ab aτ 2已知：be a+ω2

方法2:留数定理的利用

1 RX (τ )= 2π

+∞

ω2+ 4 jωτ e dω 4∫ω+ 10ω+ 9 ∞

1ω2+ 4={2π j 2 e jω|τ||ω= j+ 2π (ω+ 9)(ω+ j )

ω2+ 4 jω|τ| 2π j|ω=3 j} e 2 (ω+ 3 j )(ω+ 1)= 3 |τ| 5 3|τ| e+ e 16 48

例题7-4:解:

已知平稳正态过程X (t )的均值为0,功率谱密度为 1,求X (t )的概率密度函数。 S X (ω )= 2 1+ω∞ 1 jωτ R X (τ )= ( ) Sω e dω X∫ 2π ∞ 1= 2π= 1 2π 1 jωτ dω e 2∫ 1+ω ∞∞∞

∞

∫

2× 1×

1 2 e jωτ dω= 1 e |τ| 1+ω2 2 1 2 1 e x2

2 (t )=σ 2= E[ X 2 (t )] mx x2 1 2. 2

f ( x)=

1 2π 1/ 2

e

=

π

例题7-5:已知平稳正态过程X (t )的相关函数为 R X(τ )=e-ατ

cos(ω 0τ ),

其中α> 0,ω 0为常数，求谱密度S X (ω )。

解:

S X (ω )= 2∫ RX (τ ) cosωτ dτ0

∞

= 2∫ e aτ cosω0τ cosωτ dτ0

∞

=∫ e aτ[ cos(ω0+ω )τ+ cos(ω0 ω )τ] dτ0

∞

=

a a+ (ω0+ω )2 2

+

a a 2+ (ω ω0 ) 2

7.4白噪声自相关函数和功率谱密度白噪声过程定义：设{ X (t ), ∞< t<∞}为实平稳随机过程，若它的均值为0,且谱密度在所有频率范围内为非0的常数，即 SX (ω )= N 0 ( ∞<ω<∞),则X (t )为白噪声过程。